Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

Bước 1

Kiểm tra xem điểm đã cho có nằm trên đồ thị của hàm số đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

Bước 1.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

Bước 1.1.2.1.2

Nhân $- 5$ với $1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 6$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$f (1) = - 4 + 6$

Bước 1.1.2.2.2

Cộng $- 4$ và $6$ .

$f (1) = 2$

Bước 1.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 1.2

Vì $2 = 2$ , nên điểm nằm trên đồ thị.

Điểm nằm trên đồ thị

Bước 2

Hệ số góc của đường tiếp tuyến là đạo hàm của biểu thức.

$m$ $=$ Đạo hàm của $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Bước 3

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 4

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Viết lại ${(x + h)}^{2}$ ở dạng $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Bước 4.1.2.1.2

Khai triển $(x + h) (x + h)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Bước 4.1.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Bước 4.1.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Bước 4.1.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Bước 4.1.2.1.3.1.2

Nhân $h$ với $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Bước 4.1.2.1.3.2

Cộng $x h$ và $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.2.1

Sắp xếp lại $x$ và $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Bước 4.1.2.1.3.2.2

Cộng $h x$ và $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Bước 4.1.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Bước 4.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Bước 4.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Di chuyển $- 5 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Bước 4.2.2

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Bước 4.2.3

Sắp xếp lại $2 h x$ và $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Bước 4.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Bước 5

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

Bước 6.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

Bước 6.1.2.2

Nhân $- 1$ với $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

Bước 6.1.3

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

Bước 6.1.4

Cộng $h^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

Bước 6.1.5

Cộng $- 5 x$ và $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

Bước 6.1.6

Cộng $h^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

Bước 6.1.7

Trừ $6$ khỏi $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

Bước 6.1.8

Cộng $h^{2} + 2 h x - 5 h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

Bước 6.1.9

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2} + 2 h x - 5 h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.9.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

Bước 6.1.9.2

Đưa $h$ ra ngoài $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

Bước 6.1.9.3

Đưa $h$ ra ngoài $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Bước 6.1.9.4

Đưa $h$ ra ngoài $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Bước 6.1.9.5

Đưa $h$ ra ngoài $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Bước 6.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Bước 6.2.1.2

Chia $h + 2 x - 5$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

Bước 6.2.2

Sắp xếp lại $h$ và $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $2 x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Bước 7.3

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Bước 8

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x - 1 \cdot 5$

Bước 9.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$2 x - 5$

Bước 10

Rút gọn $2 (1) - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $2$ với $1$ .

$m = 2 - 5$

Bước 10.2

Trừ $5$ khỏi $2$ .

$m = - 3$

Bước 11

Hệ số góc là $m = - 3$ và điểm là $(1, 2)$ .

$m = - 3, (1, 2)$

Bước 12

Tìm $b$ bằng cách sử dụng công thức của phương trình đường thẳng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Sử dụng công thức cho phương trình đường thẳng để tìm $b$ .

$y = m x + b$

Bước 12.2

Thay giá trị của $m$ vào phương trình.

$y = (- 3) \cdot x + b$

Bước 12.3

Thay giá trị của $x$ vào phương trình.

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

Bước 12.4

Thay giá trị của $y$ vào phương trình.

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

Bước 12.5

Tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ .

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

Bước 12.5.2

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3 + b = 2$

Bước 12.5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $b$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.3.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$b = 2 + 3$

Bước 12.5.3.2

Cộng $2$ và $3$ .

$b = 5$

Bước 13

Bây giờ, các giá trị của $m$ (hệ số góc) và $b$ (tung độ gốc) đã được biết, thay chúng vào $y = m x + b$ để tìm phương trình đường thẳng.

$y = - 3 x + 5$

Bước 14