Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

Bước 1

Kiểm tra xem điểm đã cho có nằm trên đồ thị của hàm số đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

Bước 1.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Cộng $0$ và $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Bước 1.1.2.2

Chia $1$ cho $1$ .

$f (0) = 1$

Bước 1.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 1.2

Vì $1 = 1$ , nên điểm nằm trên đồ thị.

Điểm nằm trên đồ thị

Bước 2

Hệ số góc của đường tiếp tuyến là đạo hàm của biểu thức.

$m$ $=$ Đạo hàm của $f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Bước 3

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 4

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Bước 4.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Bước 4.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Bước 5

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Để viết $\frac{1}{x + h + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Bước 6.1.2

Để viết $- \frac{1}{x + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Bước 6.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + h + 1) (x + 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Nhân $\frac{1}{x + h + 1}$ với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Bước 6.1.3.2

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Bước 6.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Bước 6.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Bước 6.1.5

Viết lại $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Bước 6.1.5.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Bước 6.1.5.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Bước 6.1.5.4

Cộng $0$ và $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Bước 6.1.5.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Bước 6.1.5.6

Cộng $- h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Bước 6.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Bước 6.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ vào tử số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 6.3.2

Đưa $h$ ra ngoài $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 6.3.4

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Bước 6.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Bước 7.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{x + 1}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Bước 7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Bước 7.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Bước 7.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Bước 7.6

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Bước 7.7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Bước 8

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $x$ và $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Bước 9.2

Nhân $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Bước 9.2.2

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Bước 9.2.3

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Bước 9.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Bước 9.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 10

Tìm hệ số góc $m$ . Trong trường hợp này $m = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Bước 10.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Bước 10.3

Rút gọn $- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1

Cộng $0$ và $1$ .

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

Bước 10.3.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$m = - \frac{1}{1}$

Bước 10.3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$m = - \frac{1}{1}$

Bước 10.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$m = - 1 \cdot 1$

Bước 10.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$m = - 1$

Bước 11

Hệ số góc là $m = - 1$ và điểm là $(0, 1)$ .

$m = - 1, (0, 1)$

Bước 12

Tìm $b$ bằng cách sử dụng công thức của phương trình đường thẳng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Sử dụng công thức cho phương trình đường thẳng để tìm $b$ .

$y = m x + b$

Bước 12.2

Thay giá trị của $m$ vào phương trình.

$y = (- 1) \cdot x + b$

Bước 12.3

Thay giá trị của $x$ vào phương trình.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

Bước 12.4

Thay giá trị của $y$ vào phương trình.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

Bước 12.5

Tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ .

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

Bước 12.5.2

Rút gọn $(- 1) \cdot (0) + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 + b = 1$

Bước 12.5.2.2

Cộng $0$ và $b$ .

$b = 1$

Bước 13

Bây giờ, các giá trị của $m$ (hệ số góc) và $b$ (tung độ gốc) đã được biết, thay chúng vào $y = m x + b$ để tìm phương trình đường thẳng.

$y = - x + 1$

Bước 14