Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

Bước 1

Đặt mẫu số trong $\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$1 + \sin (2 x) = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (2 x) = - 1$

Bước 2.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x = \arcsin (- 1)$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

Bước 2.4

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.4.3.2

Nhân $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 2.5

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 2.6.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Bước 2.6.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 2.6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 2.6.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 2.6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.6.3.3.2

Nhân $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.3.2.1

Nhân $\frac{3 π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.6.3.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.7.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 2.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 2.7.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.8

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + π$

Bước 2.8.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 2.8.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 2.8.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 2.8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 2.8.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Bước 2.8.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.9

Chu kỳ của hàm $\sin (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.10

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Bước 5

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , cho mọi số nguyên $n$

Khoảng biến thiên: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Bước 6