Giải tích Ví dụ

$f (x) = (x^{3} - 3 + 1) (x + 2)$ , $(1, - 3)$

Bước 1

Kiểm tra xem điểm đã cho có nằm trên đồ thị của hàm số đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính $f (x) = (x^{3} - 3 + 1) (x + 2)$ tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = ({(1)}^{3} - 3 + 1) ((1) + 2)$

Bước 1.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = (1 - 3 + 1) ((1) + 2)$

Bước 1.1.2.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f (1) = (- 2 + 1) ((1) + 2)$

Bước 1.1.2.3

Cộng $- 2$ và $1$ .

$f (1) = - 1 ((1) + 2)$

Bước 1.1.2.4

Cộng $1$ và $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 3$

Bước 1.1.2.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (1) = - 3$

Bước 1.1.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$- 3$

Bước 1.2

Vì $- 3 = - 3$ , nên điểm nằm trên đồ thị.

Điểm nằm trên đồ thị

Bước 2

Hệ số góc của đường tiếp tuyến là đạo hàm của biểu thức.

$m$ $=$ Đạo hàm của $f (x) = (x^{3} - 3 + 1) (x + 2)$

Bước 3

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 4

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = ({(x + h)}^{3} - 3 + 1) ((x + h) + 2)$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 + 1) ((x + h) + 2)$

Bước 4.1.2.2

Cộng $- 3$ và $1$ .

$f (x + h) = (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2) ((x + h) + 2)$

Bước 4.1.2.3

Khai triển $(x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2) (x + h + 2)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$f (x + h) = x^{3} x + x^{3} h + x^{3} \cdot 2 + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.1.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 4.1.2.4.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x + h) = x^{3 + 1} + x^{3} h + x^{3} \cdot 2 + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.1.2

Cộng $3$ và $1$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + x^{3} \cdot 2 + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 \cdot x^{3} + 3 x^{2} h x + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 (x \cdot x^{2}) h + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.3.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

Bước 4.1.2.4.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{1 + 2} h + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h \cdot h + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.4

Nhân $h$ với $h$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.4.1

Di chuyển $h$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} (h \cdot h) + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.4.2

Nhân $h$ với $h$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x^{2} h \cdot 2 + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.5

Nhân $2$ với $3$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x h^{2} x + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.6.1

Di chuyển $x$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 (x \cdot x) h^{2} + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{2} h + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.7

Nhân $h^{2}$ với $h$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.7.1

Di chuyển $h$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x (h \cdot h^{2}) + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.7.2

Nhân $h$ với $h^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.7.2.1

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x (h \cdot h^{2}) + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{1 + 2} + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.7.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 3 x h^{2} \cdot 2 + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.8

Nhân $2$ với $3$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.9

Nhân $h^{3}$ với $h$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.9.1

Nhân $h^{3}$ với $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.9.1.1

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{3} h + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.9.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{3 + 1} + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.9.2

Cộng $3$ và $1$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + h^{3} \cdot 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.10

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $h^{3}$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 \cdot h^{3} - 2 x - 2 h - 2 \cdot 2$

Bước 4.1.2.4.1.11

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f (x + h) = x^{4} + x^{3} h + 2 x^{3} + 3 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

Bước 4.1.2.4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.2.1

Cộng $x^{3} h$ và $3 x^{3} h$ .

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 3 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x^{2} h^{2} + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

Bước 4.1.2.4.2.2

Cộng $3 x^{2} h^{2}$ và $3 x^{2} h^{2}$ .

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 x h^{3} + 6 x h^{2} + h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

Bước 4.1.2.5

Cộng $3 x h^{3}$ và $h^{3} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1

Di chuyển $x$ .

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 3 h^{3} x + h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

Bước 4.1.2.5.2

Cộng $3 h^{3} x$ và $h^{3} x$ .

$f (x + h) = x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

Bước 4.1.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

Bước 4.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

Bước 4.2.2

Di chuyển $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 x^{2} h + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

Bước 4.2.3

Di chuyển $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 x h^{2} + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

Bước 4.2.4

Di chuyển $x$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 x - 2 h - 4$

Bước 4.2.5

Di chuyển $- 2 x$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} - 2 h - 2 x - 4$

Bước 4.2.6

Di chuyển $2 x^{3}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 6 h x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

Bước 4.2.7

Di chuyển $6 h x^{2}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x + h^{4} + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

Bước 4.2.8

Di chuyển $6 h^{2} x$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

Bước 4.2.9

Di chuyển $x^{4}$ .

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

Bước 4.2.10

Di chuyển $4 h x^{3}$ .

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

Bước 4.2.11

Di chuyển $6 h^{2} x^{2}$ .

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

Bước 4.2.12

Sắp xếp lại $4 h^{3} x$ và $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

Bước 4.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 4$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 4$

Bước 5

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - (x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 4)}{h}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - (2 x^{3}) - (- 2 x) + 4}{h}$

Bước 6.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - 2 x^{3} - (- 2 x) + 4}{h}$

Bước 6.1.2.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

Bước 6.1.2.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - x^{4} - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

Bước 6.1.3

Trừ $x^{4}$ khỏi $x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 + 0 - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

Bước 6.1.4

Cộng $h^{4}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 h - 2 x - 4 - 2 x^{3} + 2 x + 4}{h}$

Bước 6.1.5

Trừ $2 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h - 2 x - 4 + 0 + 2 x + 4}{h}$

Bước 6.1.6

Cộng $h^{4}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h - 2 x - 4 + 2 x + 4}{h}$

Bước 6.1.7

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h + 0 - 4 + 4}{h}$

Bước 6.1.8

Cộng $h^{4}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h - 4 + 4}{h}$

Bước 6.1.9

Cộng $- 4$ và $4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h + 0}{h}$

Bước 6.1.10

Cộng $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

Bước 6.1.11

Đưa $h$ ra ngoài $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.11.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

Bước 6.1.11.2

Đưa $h$ ra ngoài $4 h^{3} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

Bước 6.1.11.3

Đưa $h$ ra ngoài $6 h^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3} + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

Bước 6.1.11.4

Đưa $h$ ra ngoài $4 h x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

Bước 6.1.11.5

Đưa $h$ ra ngoài $2 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

Bước 6.1.11.6

Đưa $h$ ra ngoài $6 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + 6 h x^{2} - 2 h}{h}$

Bước 6.1.11.7

Đưa $h$ ra ngoài $6 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) - 2 h}{h}$

Bước 6.1.11.8

Đưa $h$ ra ngoài $- 2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

Bước 6.1.11.9

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

Bước 6.1.11.10

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

Bước 6.1.11.11

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

Bước 6.1.11.12

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (2 h^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2}) + h (6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

Bước 6.1.11.13

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2}) + h (6 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x) + h (6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

Bước 6.1.11.14

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x) + h (6 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2}) + h \cdot - 2}{h}$

Bước 6.1.11.15

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2}) + h \cdot - 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2)}{h}$

Bước 6.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2)}{h}$

Bước 6.2.1.2

Chia $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$

Bước 6.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Di chuyển $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$

Bước 6.2.2.2

Di chuyển $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 h x + 6 x^{2} - 2$

Bước 6.2.2.3

Di chuyển $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2} - 2$

Bước 6.2.2.4

Di chuyển $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2} - 2$

Bước 6.2.2.5

Di chuyển $6 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

Bước 6.2.2.6

Di chuyển $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

Bước 6.2.2.7

Di chuyển $4 x h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

Bước 6.2.2.8

Sắp xếp lại $6 x^{2} h$ và $4 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3} + 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2} - 2$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

Bước 8

Tính giới hạn của $4 x^{3}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

Bước 9

Chuyển số hạng $6 x^{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

Bước 10

Chuyển số hạng $4 x$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

Bước 11

Đưa số mũ $2$ từ $h^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

Bước 12

Đưa số mũ $3$ từ $h^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

Bước 13

Tính giới hạn của $6 x^{2}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

Bước 14

Chuyển số hạng $6 x$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

Bước 15

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 2$

Bước 16

Đưa số mũ $2$ từ $h^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 2$

Bước 17

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + 6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 2$

Bước 18

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1