Giải tích Ví dụ

$4 \tan (3 x) \sec (3 x) + e^{- 2 x} + 6 x$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \tan (3 x) \sec (3 x) + e^{- 2 x} + 6 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x) \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x) \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x) \sec (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \tan (3 x) \sec (3 x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x) \sec (3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x) \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \tan (3 x)$ và $g (x) = \sec (3 x)$ .

$4 (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)] + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.6.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.7

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.9

Nhân $3$ với $1$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.10

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$4 (\tan (3 x) (3 \cdot (\sec (3 x) \tan (3 x))) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.11

Nâng $\tan (3 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) (\tan^{1} (3 x) \tan (3 x)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.12

Nâng $\tan (3 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) (\tan^{1} (3 x) \tan^{1} (3 x)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (3 \sec (3 x) {\tan (3 x)}^{1 + 1} + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.14

Cộng $1$ và $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.15

Nhân $3$ với $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) \cdot 3)) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.16

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (3 x)$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + \sec (3 x) (3 \cdot \sec^{2} (3 x))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.17

Nâng $\sec (3 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 (\sec^{1} (3 x) \sec^{2} (3 x))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 {\sec (3 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 2.19

Cộng $1$ và $2$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $- 2 x$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + \frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $- 2 x$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 3.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 3.5

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{- 2 x}$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6 \cdot 1$

Bước 4.3

Nhân $6$ với $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x)) + 4 (3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $3$ với $4$ .

$12 (\sec (3 x) \tan^{2} (3 x)) + 4 (3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$12 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 12 \sec^{3} (3 x) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$12 \tan^{2} (3 x) \sec (3 x) + 6 - 2 e^{- 2 x} + 12 \sec^{3} (3 x)$