Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$

Bước 1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4} \geq 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x + 4 = 0$

$x \cdot x - 4 = 0$

Bước 2.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 2.3

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Bước 2.4

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 4$

Bước 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 2.6

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 2.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 2.7

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 2.7.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 2.7.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 2.8

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = - 4$

$x = 2, - 2$

Bước 2.9

Hợp nhất các đáp án.

$x = - 4, 2, - 2$

Bước 2.10

Tìm tập xác định của $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \cdot x - 4 = 0$

Bước 2.10.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Bước 2.10.2.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 4$

Bước 2.10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 2.10.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 2.10.2.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 2.10.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 2.10.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 2.10.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 2.10.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 2.11

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Bước 2.12

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 2.12.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 6) + 4}{(- 6) (- 6) - 4} \geq 0$

Bước 2.12.1.3

Vế trái $- 0.0625$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 2.12.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 3$

Bước 2.12.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 3) + 4}{(- 3) (- 3) - 4} \geq 0$

Bước 2.12.2.3

Vế trái $0.2$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.12.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 2.12.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(0) + 4}{(0) (0) - 4} \geq 0$

Bước 2.12.3.3

Vế trái $- 1$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 2.12.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 2.12.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(4) + 4}{(4) (4) - 4} \geq 0$

Bước 2.12.4.3

Vế trái $0.\overline{6}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.12.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

Bước 2.13

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 4 \leq x < - 2$ hoặc $x > 2$

Bước 3

Đặt mẫu số trong $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \cdot x - 4 = 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Bước 4.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 4$

Bước 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 4.4

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 4.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 4.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 4.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 4.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 4, - 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

Bước 6

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \geq 0}$

Bước 7

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $[- 4, - 2) \cup (2, \infty), {x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

Khoảng biến thiên: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Bước 8