Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[0, 6]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{4 x + 1}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$4 x + 1 \geq 0$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$4 x \geq - 1$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x \geq - 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x \geq - 1$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Ký hiệu khoảng:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 6]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

Bước 5

Giả sử $u = 4 x + 1$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 4 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 5.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $4$ với $6$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Bước 5.5.2

Cộng $24$ và $1$ .

$u_{upper} = 25$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

Bước 6

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Bước 8

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $25$ và tại $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.6

Nhân $2$ với $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Bước 10.2.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Bước 10.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

Bước 10.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

Bước 10.2.10

Trừ $2$ khỏi $250$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

Bước 10.2.11

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{248}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

Bước 10.2.12

Nhân $4$ với $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

Bước 10.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $248$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $248$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

Bước 10.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.13.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Bước 10.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Bước 10.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

Bước 11

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

Bước 11.2

Cộng $6$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

Bước 12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

Bước 12.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $62$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Bước 12.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Bước 12.1.4

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Bước 12.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Bước 12.3

Nhân $3$ với $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Bước 13