Giải tích Ví dụ

$3^{x} \sin (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 3^{x}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$3^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $3$ .

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) (3^{x} \ln (3))$

Bước 1.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$

Bước 2.2

Đưa $3^{x}$ ra ngoài $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $3^{x}$ ra ngoài $3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3)) = 0$

Bước 2.2.2

Đưa $3^{x}$ ra ngoài $3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3))$ .

$3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$3^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

Bước 2.4

Đặt $3^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $3^{x}$ bằng với $0$ .

$3^{x} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $3^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (3^{x}) = \ln (0)$

Bước 2.4.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.4.2.3

Không có đáp án nào cho $3^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 2.5

Đặt $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

Bước 2.5.2

Giải $\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.3

Tách các phân số.

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.4

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.5

Chia $\ln (3)$ cho $1$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.6

Tách các phân số.

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 2.5.2.8

Chia $0$ cho $1$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 2.5.2.9

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0$

Bước 2.5.2.10

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\ln (3) \tan (x) = - 1$

Bước 2.5.2.11

Chia mỗi số hạng trong $\ln (3) \tan (x) = - 1$ cho $\ln (3)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.11.1

Chia mỗi số hạng trong $\ln (3) \tan (x) = - 1$ cho $\ln (3)$ .

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Bước 2.5.2.11.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.11.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.11.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Bước 2.5.2.11.2.1.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Bước 2.5.2.11.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.11.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\tan (x) = - \frac{1}{\ln (3)}$

Bước 2.5.2.12

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$

Bước 2.5.2.13

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.13.1

Tính $\arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$ .

$x = - 0.73844341$

Bước 2.5.2.14

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - 0.73844341 - (3.14159265)$

Bước 2.5.2.15

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.15.1

Cộng $2 π$ vào $- 0.73844341 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.73844341 - (3.14159265) + 2 π$

Bước 2.5.2.15.2

Góc tìm được $2.40314923$ dương và có cùng cạnh cuối với $- 0.73844341 - (3.14159265)$ .

$x = 2.40314923$

Bước 2.5.2.16

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.16.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 2.5.2.16.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 2.5.2.16.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 2.5.2.16.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.5.2.17

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.17.1

Cộng $π$ vào $- 0.73844341$ để tìm góc dương.

$- 0.73844341 + π$

Bước 2.5.2.17.2

Thay thế bằng giá trị xấp xỉ thập phân.

$3.14159265 - 0.73844341$

Bước 2.5.2.17.3

Trừ $0.73844341$ khỏi $3.14159265$ .

$2.40314923$

Bước 2.5.2.17.4

Liệt kê các góc mới.

$x = 2.40314923$

Bước 2.5.2.18

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$ đúng.

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $3^{x} \sin (x)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 2.40314923$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $2.40314923$ bằng $x$ .

$3^{2.40314923} \sin (2.40314923)$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2.40314923$ .

$14.01501538 \sin (2.40314923)$

Bước 4.1.2.2

Nhân $14.01501538$ với $\sin (2.40314923)$ .

$9.43403393$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 5.54474188$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $5.54474188$ bằng $x$ .

$3^{5.54474188} \sin (5.54474188)$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $5.54474188$ .

$442.09357916 \sin (5.54474188)$

Bước 4.2.2.2

Nhân $442.09357916$ với $\sin (5.54474188)$ .

$- 297.58981445$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 2.40314923 + 2 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $2.40314923 + 2 π$ bằng $x$ .

$3^{2.40314923 + 2 π} \sin (2.40314923 + 2 π)$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Cộng $2.40314923$ và $2 π$ .

$3^{8.68633454} \sin (2.40314923 + 2 π)$

Bước 4.3.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $8.68633454$ .

$13945.52395695 \sin (2.40314923 + 2 π)$

Bước 4.3.2.3

Cộng $2.40314923$ và $2 π$ .

$13945.52395695 \sin (8.68633454)$

Bước 4.3.2.4

Nhân $13945.52395695$ với $\sin (8.68633454)$ .

$9387.25664074$

Bước 4.4

Tính giá trị tại $x = 2.40314923 + 3 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay $2.40314923 + 3 π$ bằng $x$ .

$3^{2.40314923 + 3 π} \sin (2.40314923 + 3 π)$

Bước 4.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Cộng $2.40314923$ và $3 π$ .

$3^{11.82792719} \sin (2.40314923 + 3 π)$

Bước 4.4.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $11.82792719$ .

$439901.52220938 \sin (2.40314923 + 3 π)$

Bước 4.4.2.3

Cộng $2.40314923$ và $3 π$ .

$439901.52220938 \sin (11.82792719)$

Bước 4.4.2.4

Nhân $439901.52220938$ với $\sin (11.82792719)$ .

$- 296114.25848054$

Bước 4.5

Tính giá trị tại $x = 2.40314923 + 4 π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Thay $2.40314923 + 4 π$ bằng $x$ .

$3^{2.40314923 + 4 π} \sin (2.40314923 + 4 π)$

Bước 4.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Cộng $2.40314923$ và $4 π$ .

$3^{14.96951985} \sin (2.40314923 + 4 π)$

Bước 4.5.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $14.96951985$ .

$13876377.0970174 \sin (2.40314923 + 4 π)$

Bước 4.5.2.3

Cộng $2.40314923$ và $4 π$ .

$13876377.0970174 \sin (14.96951985)$

Bước 4.5.2.4

Nhân $13876377.0970174$ với $\sin (14.96951985)$ .

$9340711.28884108$

Bước 4.6

Liệt kê tất cả các điểm.

$(2.40314923, 9.43403393), (5.54474188, - 297.58981445), (2.40314923 + 2 π, 9387.25664074), (2.40314923 + 3 π, - 296114.25848054), (2.40314923 + 4 π, 9340711.28884108)$

Bước 5