Giải tích Ví dụ

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 1.1.1.3

Vì $2 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $4 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4 y$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

Bước 1.1.4.2

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + 0$

Bước 1.1.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0 + 0$

Bước 1.1.5.2

Cộng $2 x + 2 y + 2$ và $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0$

Bước 1.1.5.3

Cộng $2 x + 2 y + 2$ và $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2 y + 2$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x + 2 y + 2$ .

$2 x + 2 y + 2$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 x + 2 y + 2 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 x + 2 y + 2 = 0$

Bước 2.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x + 2 = - 2 y$

Bước 2.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - 2 y - 2$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 2 y - 2$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 2 y - 2$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2} + \frac{- 2}{2}$

Bước 2.3.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{- 2}{2}$

Bước 2.3.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 2}{2}$

Bước 2.3.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{- y}{1} + \frac{- 2}{2}$

Bước 2.3.3.1.1.2.4

Chia $- y$ cho $1$ .

$x = - y + \frac{- 2}{2}$

Bước 2.3.3.1.2

Chia $- 2$ cho $2$ .

$x = - y - 1$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- y - 1$ bằng $x$ .

${(- y - 1)}^{2} + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Viết lại ${(- y - 1)}^{2}$ ở dạng $(- y - 1) (- y - 1)$ .

$(- y - 1) (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.2

Khai triển $(- y - 1) (- y - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3.1.2

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1.2.1

Di chuyển $y$ .

$- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3.1.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3.1.4

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3.1.5

Nhân $- y \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3.1.5.2

Nhân $y$ với $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3.1.6

Nhân $- 1 (- y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3.1.6.2

Nhân $y$ với $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3.1.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.3.2

Cộng $y$ và $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (2 (- y) + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y - 2) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y \cdot y - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.8

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.8.1

Di chuyển $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 (y \cdot y) - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.8.2

Nhân $y$ với $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y) + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.10

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.1.11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1.1

Trừ $2 y^{2}$ khỏi $2 y^{2}$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 0 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.2.1.2

Cộng $y^{2} + 2 y + 1$ và $0$ .

$y^{2} + 2 y + 1 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.2.1.3

Trừ $2 y$ khỏi $2 y$ .

$y^{2} + 0 + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.2.1.4

Cộng $y^{2}$ và $0$ .

$y^{2} + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$y^{2} - 2 y - 1 + 4 y + 7$

Bước 4.1.2.2.3

Cộng $- 2 y$ và $4 y$ .

$y^{2} + 2 y - 1 + 7$

Bước 4.1.2.2.4

Cộng $- 1$ và $7$ .

$y^{2} + 2 y + 6$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- y - 1, y^{2} + 2 y + 6)$

Bước 5