Giải tích Ví dụ

$10 \sec (x) + 5 \tan (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 \sec (x)$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \tan (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.1.3.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$

Bước 2.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đối số trong $\sec (x)$ bằng $\frac{π}{2} + π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.2

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 4

Tính $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = \frac{7 π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $\frac{7 π}{6}$ bằng $x$ .

$10 \sec (\frac{7 π}{6}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì secant âm trong góc phần tư thứ ba.

$10 (- \sec (\frac{π}{6})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{6})$ là $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.3

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.4.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.4.6.5

Tính số mũ.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.5

Nhân $10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.5.1

Nhân $- 1$ với $10$ .

$- 10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.5.2

Kết hợp $- 10$ và $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.5.3

Nhân $2$ với $- 10$ .

$\frac{- 20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Bước 4.1.2.1.7

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{π}{6})$

Bước 4.1.2.1.8

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 4.1.2.1.9

Kết hợp $5$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 4.1.2.2.2

Cộng $- 20 \sqrt{3}$ và $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 15 \sqrt{3}}{3}$

Bước 4.1.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 15$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3}$

Bước 4.1.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Bước 4.1.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Bước 4.1.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{1}$

Bước 4.1.2.2.3.2.4

Chia $- 5 \sqrt{3}$ cho $1$ .

$- 5 \sqrt{3}$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = \frac{11 π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $\frac{11 π}{6}$ bằng $x$ .

$10 \sec (\frac{11 π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$10 \sec (\frac{π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{6})$ là $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2}{\sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.3

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.4.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.4.6.5

Tính số mũ.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.5

Nhân $10 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.5.1

Kết hợp $10$ và $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.5.2

Nhân $2$ với $10$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Bước 4.2.2.1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì tang âm trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \tan (\frac{π}{6}))$

Bước 4.2.2.1.7

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Bước 4.2.2.1.8

Nhân $5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.8.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 4.2.2.1.8.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 4.2.2.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{20 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}{3}$

Bước 4.2.2.2.2

Trừ $5 \sqrt{3}$ khỏi $20 \sqrt{3}$ .

$\frac{15 \sqrt{3}}{3}$

Bước 4.2.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3}$

Bước 4.2.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Bước 4.2.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Bước 4.2.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 \sqrt{3}}{1}$

Bước 4.2.2.2.3.2.4

Chia $5 \sqrt{3}$ cho $1$ .

$5 \sqrt{3}$

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 5 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, 5 \sqrt{3})$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5