Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{n} \cos (x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} u^{n} d u$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{n}$ đối với $u$ là $\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}$ .

$\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}]_{0}^{1}$

Bước 3

Kết hợp $\frac{1}{n + 1}$ và $u^{n + 1}$ .

$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

Bước 4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$