Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = - x - 6$ và $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 6] - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.5

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.9

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.11

Cộng $- 1$ và $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.12

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của ${(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.13

Viết lại $- 1 {(x - 6)}^{2}$ ở dạng $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.14

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) \cdot 1)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.15

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.16

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.17

Nhân các số mũ trong ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.17.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.17.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.18

Đưa $x - 6$ ra ngoài $- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.18.1

Đưa $x - 6$ ra ngoài $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.18.2

Đưa $x - 6$ ra ngoài $- 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.18.3

Đưa $x - 6$ ra ngoài $(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.19

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.19.1

Đưa $x - 6$ ra ngoài ${(x - 6)}^{4}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.19.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.19.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Bước 1.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Bước 1.1.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$\frac{- x + 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Bước 1.1.4.3.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Bước 1.1.4.3.3

Nhân $- 2$ với $- 6$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Bước 1.1.4.3.4

Cộng $- x$ và $2 x$ .

$\frac{x + 6 + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Bước 1.1.4.3.5

Cộng $6$ và $12$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Bước 1.1.4.3.6

Cộng $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$x + 18 = 0$

Bước 2.3

Trừ $18$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 18$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 6)}^{3} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đặt $x - 6$ bằng $0$ .

$x - 6 = 0$

Bước 3.2.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 6$

Bước 4

Tính $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- 18$ bằng $x$ .

$\frac{- (- 18) - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 18$ .

$\frac{18 - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Bước 4.1.2.1.2

Trừ $6$ khỏi $18$ .

$\frac{12}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1.1

Trừ $6$ khỏi $- 18$ .

$\frac{12}{{(- 24)}^{2}} + 9$

Bước 4.1.2.2.1.2

Nâng $- 24$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{12}{576} + 9$

Bước 4.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $576$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $12$ .

$\frac{12 (1)}{576} + 9$

Bước 4.1.2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.2.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $576$ .

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Bước 4.1.2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Bước 4.1.2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{48} + 9$

Bước 4.1.2.3

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + 9 \cdot \frac{48}{48}$

Bước 4.1.2.4

Kết hợp $9$ và $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + \frac{9 \cdot 48}{48}$

Bước 4.1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 9 \cdot 48}{48}$

Bước 4.1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.6.1

Nhân $9$ với $48$ .

$\frac{1 + 432}{48}$

Bước 4.1.2.6.2

Cộng $1$ và $432$ .

$\frac{433}{48}$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $6$ bằng $x$ .

$\frac{- (6) - 6}{{((6) - 6)}^{2}} + 9$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $6$ khỏi $6$ .

$\frac{- (6) - 6}{0^{2}} + 9$

Bước 4.2.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{- (6) - 6}{0} + 9$

Bước 4.2.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 18, \frac{433}{48})$

Bước 5