Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} - 1}$ ở dạng ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.7.3

Di chuyển ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.1.10

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Bước 1.1.11

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.11.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Bước 1.1.11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 1.1.11.3

Kết hợp $\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.11.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.11.5

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$x = 0$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Bước 3.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Bước 3.2

Đặt mẫu số trong $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Bước 3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} - 1}$ ở dạng ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Rút gọn ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 3.3.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 3.3.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Bước 3.3.2.2.1.2

Rút gọn.

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Bước 3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Bước 3.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 1$

Bước 3.3.3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 3.3.3.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 3.3.3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 3.3.3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 3.3.3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 3.4

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{2} - 1}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} - 1 < 0$

Bước 3.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} < 1$

Bước 3.5.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{1}$

Bước 3.5.3

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | < \sqrt{1}$

Bước 3.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| x | < 1$

Bước 3.5.4

Viết $| x | < 1$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 3.5.4.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x < 1$

Bước 3.5.4.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 3.5.4.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x < 1$

Bước 3.5.4.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x < 1 & x \geq 0 \\ - x < 1 & x < 0 \end{cases}$

Bước 3.5.5

Tìm phần giao của $x < 1$ và $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 1$

Bước 3.5.6

Giải $- x < 1$ khi $x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1

Chia mỗi số hạng trong $- x < 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- x < 1$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Bước 3.5.6.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} > \frac{1}{- 1}$

Bước 3.5.6.1.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x > \frac{1}{- 1}$

Bước 3.5.6.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$x > - 1$

Bước 3.5.6.2

Tìm phần giao của $x > - 1$ và $x < 0$ .

$- 1 < x < 0$

Bước 3.5.7

Tìm hợp của các đáp án.

$- 1 < x < 1$

Bước 3.6

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

Bước 4

Tính $\sqrt{x^{2} - 1}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} - 1}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\sqrt{0 - 1}$

Bước 4.1.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\sqrt{- 1}$

Bước 4.1.2.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$i$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} - 1}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Bước 4.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\sqrt{0}$

Bước 4.2.2.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Bước 4.2.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$0$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 - 1}$

Bước 4.3.2.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\sqrt{0}$

Bước 4.3.2.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Bước 4.3.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$0$

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 1, 0), (1, 0)$

Bước 5