Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{6} {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ và ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ ra ngoài ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Bước 2.2.1.2.4

Chia ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Bước 2.2.2

Cộng $n$ và $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

Bước 2.2.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

Bước 2.2.4

Trừ $n$ khỏi $n$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

Bước 2.2.5

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$r = \frac{1}{4}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $n$ vào ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{0}$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{1^{0}}{4^{0}}$

Bước 3.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = \frac{1}{4^{0}}$

Bước 3.2.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Bước 3.2.5

Chia $1$ cho $1$ .

$a = 1$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ với $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Bước 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Bước 5.2.2

Kết hợp.

$\frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{1}{4})}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{1}{4})}$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{4}$ vào tử số.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 + 4 (- \frac{1^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1^{6}}{4^{6}}$ vào tử số.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4^{6}$ .

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 + \frac{- 1^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{4 + \frac{- 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4 - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.8

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.9

Kết hợp $4$ và $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{4 \cdot 1024 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.11.1

Nhân $4$ với $1024$ .

$\frac{\frac{4096 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5.11.2

Trừ $1$ khỏi $4096$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 - 1}$

Bước 5.6.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{3}$

Bước 5.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{4095}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 5.8

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $4095$ .

$\frac{3 (1365)}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 5.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1365}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 5.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1365}{1024}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1365}{1024}$

Dạng thập phân:

$1.33300781 \dots$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{341}{1024}$