Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ và $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.8

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.9.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.9.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Nhân $2$ với $- 3$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 6) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Khai triển $(2 x - 6) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 x (x - 1) - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.3.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.3.1.3

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.3.2

Trừ $6 x$ khỏi $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.4

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.5

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.6.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.6.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.6.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.6.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.6.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.6.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.8.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.1.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 6 + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.3

Cộng $- 8 x$ và $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 6 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.4

Trừ $1$ khỏi $6$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.1.4.3

Phân tích $x^{2} - 6 x + 5$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $5$ và tổng của chúng là $- 6$ .

$- 5, - 1$

Bước 1.1.4.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 2.3.2

Đặt $x - 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đặt $x - 5$ bằng với $0$ .

$x - 5 = 0$

Bước 2.3.2.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 5$

Bước 2.3.3

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.3.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 5) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 5, 1$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đặt $x - 3$ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 3.2.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 4

Tính $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $5$ bằng $x$ .

$\frac{{((5) - 1)}^{2}}{(5) - 3}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$\frac{4^{2}}{5 - 3}$

Bước 4.1.2.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{16}{5 - 3}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$\frac{16}{2}$

Bước 4.1.2.2.2

Chia $16$ cho $2$ .

$8$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\frac{{((1) - 1)}^{2}}{(1) - 3}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0^{2}}{1 - 3}$

Bước 4.2.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{1 - 3}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{- 2}$

Bước 4.2.2.2.2

Chia $0$ cho $- 2$ .

$0$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{(3) - 3}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{0}$

Bước 4.3.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(5, 8), (1, 0)$

Bước 5