Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 3$ và $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 1.1.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.5.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.7.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - 2 (x - 3) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.7.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 (x - 3) x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.7.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x (- 2 (x - 3))$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Bước 1.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 1.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 3)}{x^{3}}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 3}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Nhân $- 2$ với $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 6}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.2.2

Trừ $2 x$ khỏi $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f' (x) = \frac{- (x) + 6}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.4

Viết lại $6$ ở dạng $- 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 6}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 6)}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.6

Viết lại $- (x - 6)$ ở dạng $- 1 (x - 6)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 6)}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{x - 6}{x^{3}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{x - 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$x - 6 = 0$

Bước 2.3

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 6$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x - 6}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 3.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 4

Tính $\frac{x - 3}{x^{2}}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $6$ bằng $x$ .

$\frac{(6) - 3}{{(6)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Trừ $3$ khỏi $6$ .

$\frac{3}{6^{2}}$

Bước 4.1.2.1.2

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3}{36}$

Bước 4.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (1)}{36}$

Bước 4.1.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Bước 4.1.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Bước 4.1.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{12}$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{(0) - 3}{{(0)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{(0) - 3}{0}$

Bước 4.2.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(6, \frac{1}{12})$

Bước 5