Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2} - 9}$ ở dạng ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{- 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 9$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Bước 1.1.3.3

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

Bước 1.1.3.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Bước 1.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Bước 1.1.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Bước 1.1.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Bước 1.1.5.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 1.1.5.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$2 x = 0$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Bước 3.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Bước 3.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 3.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 3.2.3

Đặt ${(x + 3)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đặt ${(x + 3)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Bước 3.2.3.2

Giải ${(x + 3)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Đặt $x + 3$ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 3.2.3.2.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 3.2.4

Đặt ${(x - 3)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đặt ${(x - 3)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 3.2.4.2

Giải ${(x - 3)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đặt $x - 3$ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 3.2.4.2.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 3.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ đúng.

$x = - 3, 3$

Bước 3.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Bước 4

Tính $\frac{1}{x^{2} - 9}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{1}{{(0)}^{2} - 9}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{0 - 9}$

Bước 4.1.2.1.2

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{- 9}$

Bước 4.1.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{9}$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- 3$ bằng $x$ .

$\frac{1}{{(- 3)}^{2} - 9}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{9 - 9}$

Bước 4.2.2.2

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$\frac{1}{0}$

Bước 4.2.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$\frac{1}{{(3)}^{2} - 9}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{9 - 9}$

Bước 4.3.2.2

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$\frac{1}{0}$

Bước 4.3.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, - \frac{1}{9})$

Bước 5