Giải tích Ví dụ

$f (x) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.8

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.9

Nhân $3$ với $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.10

Đưa $2$ ra ngoài $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.2.11.4

Chia $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $24 x$ đối với $x$ là $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $24$ với $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + \frac{d}{d x} [13]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $13$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $13$ đối với $x$ là $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ và $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$

Bước 2.2

Trừ $24$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} = - 24$

Bước 2.3

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Bước 2.4

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Rút gọn ${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Bước 2.4.1.1.2

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Bước 2.4.1.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Bước 2.4.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Bước 2.4.1.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$36 x^{1} = {(- 24)}^{2}$

Bước 2.4.1.1.4

Rút gọn.

$36 x = {(- 24)}^{2}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nâng $- 24$ lên lũy thừa $2$ .

$36 x = 576$

Bước 2.5

Chia mỗi số hạng trong $36 x = 576$ cho $36$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $36 x = 576$ cho $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Bước 2.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{576}{36}$

Bước 2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Chia $576$ cho $36$ .

$x = 16$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$- 6 \sqrt{x^{1}} + 24$

Bước 3.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$- 6 \sqrt{x} + 24$

Bước 3.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ nhỏ hơn $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x < 0$

Bước 3.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Bước 4

Tính $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $16$ bằng $x$ .

$- 4 {(16)}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$- 4 {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Bước 4.1.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Bước 4.1.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Bước 4.1.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 4 \cdot 4^{3} + 24 (16) + 13$

Bước 4.1.2.1.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$- 4 \cdot 64 + 24 (16) + 13$

Bước 4.1.2.1.5

Nhân $- 4$ với $64$ .

$- 256 + 24 (16) + 13$

Bước 4.1.2.1.6

Nhân $24$ với $16$ .

$- 256 + 384 + 13$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Cộng $- 256$ và $384$ .

$128 + 13$

Bước 4.1.2.2.2

Cộng $128$ và $13$ .

$141$

Bước 4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(16, 141)$

Bước 5