Giải tích Ví dụ

$\tan (x y^{2}) = e^{x^{2} + y}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = x y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y^{2}$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Bước 2.7

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

Bước 2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y') + \sec^{2} (x y^{2}) y^{2}$

Bước 2.8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y$ .

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ .

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y'$

Bước 5.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$

Bước 5.2.1.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ .

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y}$

Bước 5.3

Trừ $y' e^{x^{2} + y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y}$

Bước 5.4

Trừ $y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5.5

Đưa $y'$ ra ngoài $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $y'$ ra ngoài $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2})$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5.5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' e^{x^{2} + y}$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5.5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y})$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5.6

Viết lại $- 1 e^{x^{2} + y}$ ở dạng $- e^{x^{2} + y}$ .

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

Bước 5.7

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ cho $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ cho $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Bước 5.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 5.7.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Bước 5.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} - \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Bước 5.7.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$