Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Bước 1.1.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.3.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.3.6.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.3.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.3.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.3.10

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.3.11

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.3.12

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + 0$

Bước 1.1.3.13

Cộng $2 x^{- 3}$ và $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{3}}$

Bước 1.1.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 2$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$

Bước 2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$

Bước 2.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{3}, 1$

Bước 2.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{3}$

Bước 2.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ với $x^{3}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ với $x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Bước 2.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 = - 2 x^{3}$

Bước 2.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 2 x^{3} = 2$ .

$- 2 x^{3} = 2$

Bước 2.5.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Bước 2.5.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 x^{3} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Bước 2.5.3.1.2

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2$ .

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

Bước 2.5.3.1.3

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 (x^{3}) - 2 (1)$ .

$- 2 (x^{3} + 1) = 0$

Bước 2.5.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$- 2 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Bước 2.5.3.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Bước 2.5.3.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.4.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Bước 2.5.3.4.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Bước 2.5.3.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Bước 2.5.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Bước 2.5.5

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 2.5.5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 2.5.6

Đặt $x^{2} - x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Đặt $x^{2} - x + 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Bước 2.5.6.2

Giải $x^{2} - x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.5.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.3.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.6.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.4.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.6.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.6.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.5.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.5.6.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.6.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ đúng.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 3.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 4

Tính $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$2 (- 1) - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 4.1.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 2 - \frac{1}{1}$

Bước 4.1.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 - \frac{1}{1}$

Bước 4.1.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 - 1 \cdot 1$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 - 1$

Bước 4.1.2.2

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$- 3$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$2 (0) - \frac{1}{{(0)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 (0) - \frac{1}{0}$

Bước 4.2.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 1, - 3)$

Bước 5