Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 1$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 0$

Bước 1.1.3.2

Cộng $4 x^{3} + 6 x^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4 x^{3} + 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Bước 2.2

Đưa $2 x^{2}$ ra ngoài $4 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $2 x^{2}$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$2 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} = 0$

Bước 2.2.2

Đưa $2 x^{2}$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3) = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $2 x^{2}$ ra ngoài $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3)$ .

$2 x^{2} (2 x + 3) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 2.4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt $2 x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $2 x + 3$ bằng với $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $2 x + 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - 3$

Bước 2.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 3$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 3$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Bước 2.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Bước 2.5.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Bước 2.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{3}{2}$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 x^{2} (2 x + 3) = 0$ đúng.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

${(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 1$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + 2 {(0)}^{3} - 1$

Bước 4.1.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 - 1$

Bước 4.1.2.1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$0 + 0 - 1$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 - 1$

Bước 4.1.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- \frac{3}{2}$ bằng $x$ .

${(- \frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{2}$ .

${(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Bước 4.2.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

${(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Bước 4.2.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$1 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Bước 4.2.2.1.3

Nhân $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ với $1$ .

$\frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Bước 4.2.2.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{81}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Bước 4.2.2.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{81}{16} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

Bước 4.2.2.1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.6.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 1$

Bước 4.2.2.1.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

Bước 4.2.2.1.7

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

Bước 4.2.2.1.8

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 1$

Bước 4.2.2.1.9

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{8}) - 1$

Bước 4.2.2.1.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.10.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{27}{8}$ vào tử số.

$\frac{81}{16} + 2 (\frac{- 27}{8}) - 1$

Bước 4.2.2.1.10.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 (4)} - 1$

Bước 4.2.2.1.10.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 \cdot 4} - 1$

Bước 4.2.2.1.10.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{81}{16} + \frac{- 27}{4} - 1$

Bước 4.2.2.1.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} - 1$

Bước 4.2.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Nhân $\frac{27}{4}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - (\frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}) - 1$

Bước 4.2.2.2.2

Nhân $\frac{27}{4}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} - 1$

Bước 4.2.2.2.3

Viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1}$

Bước 4.2.2.2.4

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{16}{16}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Bước 4.2.2.2.5

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{16}{16}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Bước 4.2.2.2.6

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Bước 4.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{81 - 27 \cdot 4 - 1 \cdot 16}{16}$

Bước 4.2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.4.1

Nhân $- 27$ với $4$ .

$\frac{81 - 108 - 1 \cdot 16}{16}$

Bước 4.2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $16$ .

$\frac{81 - 108 - 16}{16}$

Bước 4.2.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.5.1

Trừ $108$ khỏi $81$ .

$\frac{- 27 - 16}{16}$

Bước 4.2.2.5.2

Trừ $16$ khỏi $- 27$ .

$\frac{- 43}{16}$

Bước 4.2.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{43}{16}$

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, - 1), (- \frac{3}{2}, - \frac{43}{16})$

Bước 5