Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = y - 3$ và $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 3$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Vì $- 3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $y$ là $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.2

Nhân $y^{2} - 3 y + 9$ với $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} - 3 y + 9$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7

Vì $- 3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 3 y$ đối với $y$ là $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.9

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.10

Vì $9$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $9$ đối với $y$ là $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.2.11

Cộng $2 y - 3$ và $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.2

Khai triển $(- y + 3) (2 y - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.3.1.2

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Di chuyển $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.3.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.3.1.4

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.3.1.5

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.3.1.6

Nhân $3$ với $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.1.3.2

Cộng $3 y$ và $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.2.1

Trừ $9$ khỏi $9$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.2.2

Cộng $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ và $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.3

Trừ $2 y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2.4

Cộng $- 3 y$ và $9 y$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $- y^{2} + 6 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (- y) + y \cdot 6$ .

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5

Viết lại $6$ ở dạng $- 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (- 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.7

Viết lại $- (y - 6)$ ở dạng $- 1 (y - 6)$ .

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.1.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$y (y - 6) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $y (y - 6)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Nhân $y$ với $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

Bước 2.3.1.2.2

Di chuyển $- 6$ sang phía bên trái của $y$ .

$y^{2} - 6 y = 0$

Bước 2.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2} - 6 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$y \cdot y - 6 y = 0$

Bước 2.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 6 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Bước 2.3.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot y + y \cdot - 6$ .

$y (y - 6) = 0$

Bước 2.3.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$y = 0$

$y - 6 = 0$

Bước 2.3.4

Đặt $y$ bằng với $0$ .

$y = 0$

Bước 2.3.5

Đặt $y - 6$ bằng $0$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Đặt $y - 6$ bằng với $0$ .

$y - 6 = 0$

Bước 2.3.5.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 6$

Bước 2.3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $y (y - 6) = 0$ đúng.

$y = 0, 6$

Bước 3

Tính $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Bước 3.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

Bước 4