Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ và ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ ra ngoài ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Bước 2.2.1.2.4

Chia ${(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Bước 2.2.2

Cộng $n$ và $0$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Bước 2.2.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Bước 2.2.4

Trừ $n$ khỏi $n$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Bước 2.2.5

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{1}$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$r = - \frac{1}{3}$

Bước 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Bước 4

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $1$ cho $n$ vào ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{0}$

Bước 4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Bước 4.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Bước 4.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 1 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Bước 4.2.4

Nhân $\frac{1^{0}}{3^{0}}$ với $1$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Bước 4.2.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Bước 4.2.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Bước 4.2.7

Chia $1$ cho $1$ .

$a = 1$

Bước 5

Thế giá trị của công bội và của số hạng đầu vào công thức tính tổng.

$\frac{1}{1 - - \frac{1}{3}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $- - \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{3})}$

Bước 6.1.1.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Bước 6.1.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Bước 6.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Bước 6.1.4

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Bước 6.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 (\frac{3}{4})$

Bước 6.3

Nhân $\frac{3}{4}$ với $1$ .

$\frac{3}{4}$