Giải tích Ví dụ

$\sum_{x = 1}^{8} 15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{x}$ và $a_{x + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ và ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ ra ngoài ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia ${(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$

Bước 2.2.3

Cộng $x$ và $0$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - (x - 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x - - 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x + 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{0 + 1}$

Bước 2.2.6

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{1}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$r = - \frac{5}{7}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $x$ vào $15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{1 - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{0}$

Bước 3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} {(\frac{5}{7})}^{0})$

Bước 3.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Bước 3.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 15 (1 \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Bước 3.2.4

Nhân $\frac{5^{0}}{7^{0}}$ với $1$ .

$a = 15 \frac{5^{0}}{7^{0}}$

Bước 3.2.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 15 \frac{1}{7^{0}}$

Bước 3.2.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$a = 15 \cdot 1$

Bước 3.2.8

Nhân $15$ với $1$ .

$a = 15$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$15 \frac{1 - {(- \frac{5}{7})}^{8}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{5}{7})}^{8})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{5^{8}}{7^{8}})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{8}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Di chuyển ${(- 1)}^{8}$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.2.2

Nhân ${(- 1)}^{8}$ với $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.2.3

Cộng $8$ và $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $9$ .

$15 \frac{1 - \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.5

Nâng $7$ lên lũy thừa $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$15 \frac{\frac{5764801}{5764801} - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$15 \frac{\frac{5764801 - 390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.1.8

Trừ $390625$ khỏi $5764801$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Bước 5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- - \frac{5}{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + 1 (\frac{5}{7})}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $\frac{5}{7}$ với $1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + \frac{5}{7}}$

Bước 5.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7}{7} + \frac{5}{7}}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7 + 5}{7}}$

Bước 5.2.4

Cộng $7$ và $5$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{12}{7}}$

Bước 5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$15 (\frac{5374176}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $12$ ra ngoài $5374176$ .

$15 (\frac{12 (447848)}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$15 (\frac{12 \cdot 447848}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức.

$15 (\frac{447848}{5764801} \cdot 7)$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $7$ ra ngoài $5764801$ .

$15 (\frac{447848}{7 (823543)} \cdot 7)$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$15 (\frac{447848}{7 \cdot 823543} \cdot 7)$

Bước 5.5.3

Viết lại biểu thức.

$15 (\frac{447848}{823543})$

Bước 5.6

Nhân $15 (\frac{447848}{823543})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Kết hợp $15$ và $\frac{447848}{823543}$ .

$\frac{15 \cdot 447848}{823543}$

Bước 5.6.2

Nhân $15$ với $447848$ .

$\frac{6717720}{823543}$