Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ , $(4, 140)$

Bước 1

Tìm đạo hàm của hàm số. Để tìm hệ số góc của phương trình tiếp tuyến với đường thẳng, hãy tính đạo hàm tại giá trị mong muốn của $x$ .

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 7 x^{2} - 4)$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x^{2}$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 4.3

Nhân $2$ với $- 7$ .

$12 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$12 x^{2} - 14 x + 0$

Bước 5.2

Cộng $12 x^{2} - 14 x$ và $0$ .

$12 x^{2} - 14 x$

Bước 6

Đạo hàm của phương trình theo $y$ cũng có thể được biểu diễn dưới dạng $f' (x)$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 14 x$

Bước 7

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = 12 {(4)}^{2} - 14 \cdot 4$

Bước 8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (4) = 12 \cdot 16 - 14 \cdot 4$

Bước 8.2

Nhân $12$ với $16$ .

$f' (4) = 192 - 14 \cdot 4$

Bước 8.3

Nhân $- 14$ với $4$ .

$f' (4) = 192 - 56$

Bước 9

Trừ $56$ khỏi $192$ .

$f' (4) = 136$

Bước 10

Đạo hàm tại $(4, 140)$ là $136$ .

$136$