Giải tích Ví dụ

$f (x) = \tan (2 x)$ , $x = \frac{π}{6}$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $\frac{π}{6}$ vào cho $x$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $2$ với $\frac{π}{6}$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 1.2.2

Rút gọn $\tan (2 (\frac{π}{6}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$y = \tan (2 \frac{π}{2 (3)})$

Bước 1.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 1.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$y = \tan (\frac{π}{3})$

Bước 1.2.2.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{6}$ và $y = \sqrt{3}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 2.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Bước 2.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Bước 2.3

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{6}$ .

$2 \sec^{2} (2 (\frac{π}{6}))$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 (3)})$

Bước 2.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 2.4.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 2.4.2

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{3})$ là $2$ .

$2 \cdot 2^{2}$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $2^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân $2$ với $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{2}$

Bước 2.4.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2^{1 + 2}$

Bước 2.4.3.2

Cộng $1$ và $2$ .

$2^{3}$

Bước 2.4.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $8$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{6}, \sqrt{3})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{3}) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $8 \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 (- \frac{π}{6})$

Bước 3.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{6}$ vào tử số.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 \frac{- π}{6}$

Bước 3.3.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{6}$

Bước 3.3.1.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.1.4.5

Viết lại biểu thức.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 4 \frac{- π}{3}$

Bước 3.3.1.5

Kết hợp $4$ và $\frac{- π}{3}$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{4 (- π)}{3}$

Bước 3.3.1.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.6.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{- 4 π}{3}$

Bước 3.3.1.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - \sqrt{3} = 8 x - \frac{4 π}{3}$

Bước 3.3.2

Cộng $\sqrt{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3}$

Bước 3.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để viết $\sqrt{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.3.3.2

Kết hợp $\sqrt{3}$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Bước 3.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = 8 x + \frac{- 4 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Bước 3.3.3.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- 4 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

Bước 3.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 π$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π) + 3 \sqrt{3}}{3}$

Bước 3.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $3 \sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})}{3}$

Bước 3.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

Bước 3.3.3.8

Viết lại $- (4 π - 3 \sqrt{3})$ ở dạng $- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})$ .

$y = 8 x + \frac{- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

Bước 3.3.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = 8 x - \frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{3}$

Bước 4