Giải tích Ví dụ

$f (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 1$

Bước 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $1$ vào cho $x$ .

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 1 - \frac{1}{1^{2}}$

Bước 1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Bước 1.2.3

Rút gọn $(1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Bước 1.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Bước 1.2.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = 1 - 1 \cdot 1$

Bước 1.2.3.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = 1 - 1$

Bước 1.2.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$y = 0$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 0$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{1}{x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.2.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2.6.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$1 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$1 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$1 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2.10

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$1 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2.11

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$1 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 2.2.12

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $0$ .

$1 + 2 x^{- 3} + 0$

Bước 2.2.13

Cộng $2 x^{- 3}$ và $0$ .

$1 + 2 x^{- 3}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Bước 2.3.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{2}{x^{3}}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{x^{3}} + 1$

Bước 2.4

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$\frac{2}{{(1)}^{3}} + 1$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{1} + 1$

Bước 2.5.1.2

Chia $2$ cho $1$ .

$2 + 1$

Bước 2.5.2

Cộng $2$ và $1$ .

$3$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $3$ và một điểm đã cho $(1, 0)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 3 \cdot (x - (1))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 0 = 3 \cdot (x - 1)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Cộng $y$ và $0$ .

$y = 3 \cdot (x - 1)$

Bước 3.3.2

Rút gọn $3 \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 3 x + 3 \cdot - 1$

Bước 3.3.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y = 3 x - 3$

Bước 4