Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x + \frac{5}{x}$ , $x = 4$

Bước 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $4$ vào cho $x$ .

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

Bước 1.2.2

Rút gọn $2 (4) + \frac{5}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhân $2$ với $4$ .

$y = 8 + \frac{5}{4}$

Bước 1.2.2.2

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = 8 \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$

Bước 1.2.2.3

Kết hợp $8$ và $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{8 \cdot 4}{4} + \frac{5}{4}$

Bước 1.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{8 \cdot 4 + 5}{4}$

Bước 1.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.5.1

Nhân $8$ với $4$ .

$y = \frac{32 + 5}{4}$

Bước 1.2.2.5.2

Cộng $32$ và $5$ .

$y = \frac{37}{4}$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 4$ và $y = \frac{37}{4}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + \frac{5}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{x}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 + 5 (- x^{- 2})$

Bước 2.3.4

Nhân $- 1$ với $5$ .

$2 - 5 x^{- 2}$

Bước 2.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 5 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 5}{x^{2}}$

Bước 2.5.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 - \frac{5}{x^{2}}$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{5}{x^{2}} + 2$

Bước 2.6

Tính đạo hàm tại $x = 4$ .

$- \frac{5}{{(4)}^{2}} + 2$

Bước 2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{5}{16} + 2$

Bước 2.7.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{5}{16} + 2 \cdot \frac{16}{16}$

Bước 2.7.3

Kết hợp $2$ và $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{5}{16} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

Bước 2.7.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 5 + 2 \cdot 16}{16}$

Bước 2.7.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.5.1

Nhân $2$ với $16$ .

$\frac{- 5 + 32}{16}$

Bước 2.7.5.2

Cộng $- 5$ và $32$ .

$\frac{27}{16}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{27}{16}$ và một điểm đã cho $(4, \frac{37}{4})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{37}{4}) = \frac{27}{16} \cdot (x - (4))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $\frac{27}{16} \cdot (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{37}{4} = 0 + 0 + \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} x + \frac{27}{16} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $\frac{27}{16}$ và $x$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{16} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 (4)} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.5.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 3.3.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 3.3.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4} \cdot - 1$

Bước 3.3.1.6

Kết hợp $\frac{27}{4}$ và $- 1$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Bước 3.3.1.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.7.1

Nhân $27$ với $- 1$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27}{4}$

Bước 3.3.1.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4}$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $\frac{37}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4} + \frac{37}{4}$

Bước 3.3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27 + 37}{4}$

Bước 3.3.2.3

Cộng $- 27$ và $37$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{10}{4}$

Bước 3.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 (5)}{4}$

Bước 3.3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{5}{2}$

Bước 3.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{27}{16} x + \frac{5}{2}$

Bước 4