Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{2 x - 3}$ , $x = 6$

Bước 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $6$ vào cho $x$ .

$y = \sqrt{2 (6) - 3}$

Bước 1.2

Rút gọn $\sqrt{2 (6) - 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $2$ với $6$ .

$y = \sqrt{12 - 3}$

Bước 1.2.2

Trừ $3$ khỏi $12$ .

$y = \sqrt{9}$

Bước 1.2.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Bước 1.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = 3$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 6$ và $y = 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 x - 3}$ ở dạng ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 2 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x - 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.7.3

Di chuyển ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.11

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.12

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Bước 2.13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Bước 2.13.2

Kết hợp $\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ và $2$ .

$\frac{2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.14

Tính đạo hàm tại $x = 6$ .

$\frac{1}{{(2 (6) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{1}{{(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15.2

Trừ $3$ khỏi $12$ .

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15.3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.15.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 2.15.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 2.15.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3^{1}}$

Bước 2.15.6

Tính số mũ.

$\frac{1}{3}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{1}{3}$ và một điểm đã cho $(6, 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{3} \cdot (x - (6))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $\frac{1}{3} \cdot (x - 6)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 3 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 6$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 6$

Bước 3.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Bước 3.3.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Bước 3.3.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$y - 3 = \frac{x}{3} - 2$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{x}{3} - 2 + 3$

Bước 3.3.2.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$y = \frac{x}{3} + 1$

Bước 3.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{1}{3} x + 1$

Bước 4