Giải tích Ví dụ

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2}$

Bước 1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2} = \sum_{x = 1}^{8} 1 + \sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x} + \sum_{x = 1}^{8} x^{2}$

Bước 2

Tính $\sum_{x = 1}^{8} 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(1) (8)$

Bước 2.3

Nhân $8$ với $1$ .

$8$

Bước 3

Tính $\sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài tổng.

$(- 1) \sum_{x = 1}^{8} \frac{11}{x}$

Bước 3.2

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $x$ .

$- \frac{11}{1} - \frac{11}{2} - \frac{11}{3} + \dots - \frac{11}{8}$

Bước 3.3

Rút gọn dạng đã khai triển.

$- \frac{8371}{280}$

Bước 4

Tính $\sum_{x = 1}^{8} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Bước 4.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Bước 4.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Bước 4.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Bước 4.3.2.2

Cộng $8$ và $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Bước 4.3.2.3

Nhân $4$ với $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Bước 4.3.2.4

Cộng $16$ và $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Bước 4.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $36$ với $17$ .

$\frac{612}{3}$

Bước 4.3.3.2

Chia $612$ cho $3$ .

$204$

Bước 5

Cộng các kết quả của tổng.

$8 - \frac{8371}{280} + 204$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{8}{1} - \frac{8371}{280} + 204$

Bước 6.1.2

Nhân $\frac{8}{1}$ với $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8}{1} \cdot \frac{280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Bước 6.1.3

Nhân $\frac{8}{1}$ với $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Bước 6.1.4

Viết $204$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1}$

Bước 6.1.5

Nhân $\frac{204}{1}$ với $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1} \cdot \frac{280}{280}$

Bước 6.1.6

Nhân $\frac{204}{1}$ với $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204 \cdot 280}{280}$

Bước 6.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 \cdot 280 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Bước 6.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $8$ với $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Bước 6.3.2

Nhân $204$ với $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 57120}{280}$

Bước 6.4

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Trừ $8371$ khỏi $2240$ .

$\frac{- 6131 + 57120}{280}$

Bước 6.4.2

Cộng $- 6131$ và $57120$ .

$\frac{50989}{280}$