Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{100} 2^{i}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2^{i + 1}$ và $2^{i}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $2^{i}$ ra ngoài $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{2}{1}$

Bước 2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$r = 2$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $i$ vào $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

Bước 3.2

Tính số mũ.

$a = 2$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 1 \cdot 2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2}$

Bước 5.1.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{- 1}$

Bước 5.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{1 - 2^{100}}{- 1}$ .

$2 (- 1 \cdot (1 - 2^{100}))$

Bước 5.3

Viết lại $- 1 \cdot (1 - 2^{100})$ ở dạng $- (1 - 2^{100})$ .

$2 (- (1 - 2^{100}))$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (- 1 \cdot 1 - - 2^{100})$

Bước 5.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (- 1 - - 2^{100})$

Bước 5.6

Nhân $- - 2^{100}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 (- 1 + 1 \cdot 2^{100})$

Bước 5.6.2

Nhân $2^{100}$ với $1$ .

$2 (- 1 + 2^{100})$

Bước 5.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot - 1 + 2 \cdot 2^{100}$

Bước 5.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 + 2 \cdot 2^{100}$

Bước 5.9

Nhân $2$ với $2^{100}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Nhân $2$ với $2^{100}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 + 2^{1} \cdot 2^{100}$

Bước 5.9.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 + 2^{1 + 100}$

Bước 5.9.2

Cộng $1$ và $100$ .

$- 2 + 2^{101}$