Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{11} 2^{i - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2^{i + 1 - 1}$ và $2^{i - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $2^{i - 1}$ ra ngoài $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Bước 2.2.1.2.4

Chia $2^{i + 0 - (i - 1)}$ cho $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Bước 2.2.2

Cộng $i$ và $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Bước 2.2.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Bước 2.2.4

Trừ $i$ khỏi $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Bước 2.2.5

Cộng $0$ và $1$ .

$r = 2^{1}$

Bước 2.2.6

Tính số mũ.

$r = 2$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $i$ vào $2^{i - 1}$ .

$a = 2^{1 - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = 2^{0}$

Bước 3.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 1$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$1 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$ với $1$ .

$\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Bước 5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $11$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Bước 5.2.2

Nhân $- 1$ với $2048$ .

$\frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Bước 5.2.3

Trừ $2048$ khỏi $1$ .

$\frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Bước 5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2047}{1 - 2}$

Bước 5.3.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{- 2047}{- 1}$

Bước 5.4

Chia $- 2047$ cho $- 1$ .

$2047$