Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $k$ bằng $1$ .

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 - \sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$

Bước 2

Tính $\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + \sum_{k = 1}^{9} 1$

Bước 2.2

Tính $\sum_{k = 1}^{9} k^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 2.2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Bước 2.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Bước 2.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Bước 2.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Bước 2.2.3.2.2

Cộng $9$ và $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Bước 2.2.3.2.3

Nhân $3$ với $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Bước 2.2.3.2.4

Cộng $18$ và $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Bước 2.2.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.3.1

Nhân $30$ với $19$ .

$\frac{570}{2}$

Bước 2.2.3.3.2

Chia $570$ cho $2$ .

$285$

Bước 2.3

Tính $\sum_{k = 1}^{9} 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.3.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(1) (9)$

Bước 2.3.3

Nhân $9$ với $1$ .

$9$

Bước 2.4

Cộng các kết quả của tổng.

$285 + 9$

Bước 2.5

Cộng $285$ và $9$ .

$294$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $k$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 1$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 1$

Bước 3.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$2 + 2^{2} + 1$

Bước 3.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$2 + 4 + 1$

Bước 3.2.4

Cộng $4$ và $1$ .

$2 + 5$

Bước 3.2.5

Cộng $2$ và $5$ .

$7$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$294 - 7$

Bước 5

Trừ $7$ khỏi $294$ .

$287$