Giải tích Ví dụ

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ , $x = 5$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x^{2}$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $15$ .

$12 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.4.3

Nhân $10$ với $1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $12 x^{2} + 30 x + 10$ và $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10$

Bước 2

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f'' (5) = 12 {(5)}^{2} + 30 (5) + 10$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (5) = 12 \cdot 25 + 30 (5) + 10$

Bước 3.2

Nhân $12$ với $25$ .

$f'' (5) = 300 + 30 (5) + 10$

Bước 3.3

Nhân $30$ với $5$ .

$f'' (5) = 300 + 150 + 10$

Bước 4

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $300$ và $150$ .

$f'' (5) = 450 + 10$

Bước 4.2

Cộng $450$ và $10$ .

$f'' (5) = 460$