Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 27}$ ở dạng ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 27$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.7.3

Di chuyển ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Bước 1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 27$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

Bước 1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

Bước 1.10

Vì $27$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $27$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Bước 1.11

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Bước 1.11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 1.11.3

Kết hợp $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.11.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.11.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.2

Cộng $9$ và $27$ .

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.3

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 3.5.2

Viết lại biểu thức.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Bước 3.6

Tính số mũ.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Bước 4

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

Bước 4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Bước 4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (3) = \frac{1}{2}$