Giải tích Ví dụ

$f (r) = {(2 r)}^{\frac{2}{3}}$ , $r = 5$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 r$ .

$\frac{d}{d r} [{(2 (r))}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (r)$ .

$\frac{d}{d r} [2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.2

Vì $2^{\frac{2}{3}}$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}$ đối với $r$ là $2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1})$

Bước 1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 3}{3}})$

Bước 1.7.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{- 1}{3}})$

Bước 1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{- \frac{1}{3}})$

Bước 1.9

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $r^{- \frac{1}{3}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.10

Kết hợp $2^{\frac{2}{3}}$ và $\frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}} (2 r^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Bước 1.11

Nhân $2^{\frac{2}{3}}$ với $2$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.1

Di chuyển $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.11.2

Nhân $2$ với $2^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2^{1 + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.11.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.11.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{3 + 2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.11.5

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.12

Di chuyển $r^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 r^{\frac{1}{3}}}$

Bước 2

Thay thế biến $r$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 {(5)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$