Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 8$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho $2 x^{2} + 12 x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 2$

$b = 12$

$c = - 8$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (2)}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{6}{2}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{3}{1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$d = 3$

Bước 1.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 8 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$e = - 8 - \frac{144}{4 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$e = - 8 - \frac{144}{8}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3

Chia $144$ cho $8$ .

$e = - 8 - 1 \cdot 18$

Bước 1.1.1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $18$ .

$e = - 8 - 18$

Bước 1.1.1.4.2.2

Trừ $18$ khỏi $- 8$ .

$e = - 26$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $2 {(x + 3)}^{2} - 26$ .

$2 {(x + 3)}^{2} - 26$

Bước 1.1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = 2 {(x + 3)}^{2} - 26$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = 2$

$h = - 3$

$k = - 26$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- 3, - 26)$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Bước 1.5.3

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{8}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 3, - \frac{207}{8})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = - 3$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - \frac{209}{8}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- 3, - 26)$

Tiêu điểm: $(- 3, - \frac{207}{8})$

Trục đối xứng: $x = - 3$

Đường chuẩn: $y = - \frac{209}{8}$

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- 3, - 26)$

Tiêu điểm: $(- 3, - \frac{207}{8})$

Trục đối xứng: $x = - 3$

Đường chuẩn: $y = - \frac{209}{8}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) - 8$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 4) = 2 \cdot 16 + 12 (- 4) - 8$

Bước 2.2.1.2

Nhân $2$ với $16$ .

$f (- 4) = 32 + 12 (- 4) - 8$

Bước 2.2.1.3

Nhân $12$ với $- 4$ .

$f (- 4) = 32 - 48 - 8$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Trừ $48$ khỏi $32$ .

$f (- 4) = - 16 - 8$

Bước 2.2.2.2

Trừ $8$ khỏi $- 16$ .

$f (- 4) = - 24$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 24$ .

$- 24$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = - 4$ là $- 24$ .

$y = - 24$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 5$ trong biểu thức.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{2} + 12 (- 5) - 8$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 5) = 2 \cdot 25 + 12 (- 5) - 8$

Bước 2.5.1.2

Nhân $2$ với $25$ .

$f (- 5) = 50 + 12 (- 5) - 8$

Bước 2.5.1.3

Nhân $12$ với $- 5$ .

$f (- 5) = 50 - 60 - 8$

Bước 2.5.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Trừ $60$ khỏi $50$ .

$f (- 5) = - 10 - 8$

Bước 2.5.2.2

Trừ $8$ khỏi $- 10$ .

$f (- 5) = - 18$

Bước 2.5.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 18$ .

$- 18$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = - 5$ là $- 18$ .

$y = - 18$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) - 8$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 + 12 (- 2) - 8$

Bước 2.8.1.2

Nhân $2$ với $4$ .

$f (- 2) = 8 + 12 (- 2) - 8$

Bước 2.8.1.3

Nhân $12$ với $- 2$ .

$f (- 2) = 8 - 24 - 8$

Bước 2.8.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Trừ $24$ khỏi $8$ .

$f (- 2) = - 16 - 8$

Bước 2.8.2.2

Trừ $8$ khỏi $- 16$ .

$f (- 2) = - 24$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 24$ .

$- 24$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = - 2$ là $- 24$ .

$y = - 24$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) - 8$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 12 (- 1) - 8$

Bước 2.11.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (- 1) = 2 + 12 (- 1) - 8$

Bước 2.11.1.3

Nhân $12$ với $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 12 - 8$

Bước 2.11.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Trừ $12$ khỏi $2$ .

$f (- 1) = - 10 - 8$

Bước 2.11.2.2

Trừ $8$ khỏi $- 10$ .

$f (- 1) = - 18$

Bước 2.11.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 18$ .

$- 18$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = - 1$ là $- 18$ .

$y = - 18$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 18 \\ - 4 & - 24 \\ - 3 & - 26 \\ - 2 & - 24 \\ - 1 & - 18 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- 3, - 26)$

Tiêu điểm: $(- 3, - \frac{207}{8})$

Trục đối xứng: $x = - 3$

Đường chuẩn: $y = - \frac{209}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 18 \\ - 4 & - 24 \\ - 3 & - 26 \\ - 2 & - 24 \\ - 1 & - 18 \end{array}$

Bước 4