Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 5 x$

Bước 1

Tìm một điểm tại $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + 3 {(- 3)}^{2} + 5 (- 3)$

Bước 1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Viết $3 {(- 3)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2}}{1} + 5 (- 3)$

Bước 1.2.1.2

Nhân $\frac{3 {(- 3)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5 (- 3)$

Bước 1.2.1.3

Nhân $\frac{3 {(- 3)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{3} + 5 (- 3)$

Bước 1.2.1.4

Viết $5 (- 3)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 3)}{1}$

Bước 1.2.1.5

Nhân $\frac{5 (- 3)}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 3)}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 1.2.1.6

Nhân $\frac{5 (- 3)}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Bước 1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Bước 1.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 3 {(- 3)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Bước 1.2.3.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 3 \cdot 9 \cdot 3 + 5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Bước 1.2.3.3

Nhân $3 \cdot 9 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Nhân $3$ với $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 27 \cdot 3 + 5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Bước 1.2.3.3.2

Nhân $27$ với $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 81 + 5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Bước 1.2.3.4

Nhân $5 (- 3) \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.4.1

Nhân $5$ với $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 81 - 15 \cdot 3}{3}$

Bước 1.2.3.4.2

Nhân $- 15$ với $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 81 - 45}{3}$

Bước 1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Cộng $- 27$ và $81$ .

$f (- 3) = \frac{54 - 45}{3}$

Bước 1.2.4.2

Trừ $45$ khỏi $54$ .

$f (- 3) = \frac{9}{3}$

Bước 1.2.4.3

Chia $9$ cho $3$ .

$f (- 3) = 3$

Bước 1.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $3$ .

$3$

Bước 1.3

Quy đổi $3$ thành số thập phân.

$y = 3$

Bước 2

Tìm một điểm tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + 3 {(0)}^{2} + 5 (0)$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Viết $3 {(0)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2}}{1} + 5 (0)$

Bước 2.2.1.2

Nhân $\frac{3 {(0)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5 (0)$

Bước 2.2.1.3

Nhân $\frac{3 {(0)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2} \cdot 3}{3} + 5 (0)$

Bước 2.2.1.4

Viết $5 (0)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (0)}{1}$

Bước 2.2.1.5

Nhân $\frac{5 (0)}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (0)}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 2.2.1.6

Nhân $\frac{5 (0)}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (0) \cdot 3}{3}$

Bước 2.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (0) = \frac{{(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} \cdot 3 + 5 (0) \cdot 3}{3}$

Bước 2.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 3 {(0)}^{2} \cdot 3 + 5 (0) \cdot 3}{3}$

Bước 2.2.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 3 \cdot 0 \cdot 3 + 5 (0) \cdot 3}{3}$

Bước 2.2.3.3

Nhân $3 \cdot 0 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.3.1

Nhân $3$ với $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 3 + 5 (0) \cdot 3}{3}$

Bước 2.2.3.3.2

Nhân $0$ với $3$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 5 (0) \cdot 3}{3}$

Bước 2.2.3.4

Nhân $5 (0) \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.4.1

Nhân $5$ với $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 \cdot 3}{3}$

Bước 2.2.3.4.2

Nhân $0$ với $3$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0}{3}$

Bước 2.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0}{3}$

Bước 2.2.4.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = \frac{0}{3}$

Bước 2.2.4.3

Chia $0$ cho $3$ .

$f (0) = 0$

Bước 2.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 2.3

Quy đổi $0$ thành số thập phân.

$y = 0$

Bước 3

Tìm một điểm tại $x = - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 5$ trong biểu thức.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + 3 {(- 5)}^{2} + 5 (- 5)$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Viết $3 {(- 5)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2}}{1} + 5 (- 5)$

Bước 3.2.1.2

Nhân $\frac{3 {(- 5)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5 (- 5)$

Bước 3.2.1.3

Nhân $\frac{3 {(- 5)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2} \cdot 3}{3} + 5 (- 5)$

Bước 3.2.1.4

Viết $5 (- 5)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 5)}{1}$

Bước 3.2.1.5

Nhân $\frac{5 (- 5)}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 5)}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.2.1.6

Nhân $\frac{5 (- 5)}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3} + 3 {(- 5)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 3 {(- 5)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.3.2

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 3 \cdot 25 \cdot 3 + 5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.3.3

Nhân $3 \cdot 25 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.3.1

Nhân $3$ với $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 75 \cdot 3 + 5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.3.3.2

Nhân $75$ với $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 225 + 5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.3.4

Nhân $5 (- 5) \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.4.1

Nhân $5$ với $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 225 - 25 \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.3.4.2

Nhân $- 25$ với $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 225 - 75}{3}$

Bước 3.2.4

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Cộng $- 125$ và $225$ .

$f (- 5) = \frac{100 - 75}{3}$

Bước 3.2.4.2

Trừ $75$ khỏi $100$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3}$

Bước 3.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{25}{3}$ .

$\frac{25}{3}$

Bước 3.3

Quy đổi $\frac{25}{3}$ thành số thập phân.

$y = 8.\overline{3}$

Bước 4

Tìm một điểm tại $x = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + 3 {(- 4)}^{2} + 5 (- 4)$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Viết $3 {(- 4)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2}}{1} + 5 (- 4)$

Bước 4.2.1.2

Nhân $\frac{3 {(- 4)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5 (- 4)$

Bước 4.2.1.3

Nhân $\frac{3 {(- 4)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2} \cdot 3}{3} + 5 (- 4)$

Bước 4.2.1.4

Viết $5 (- 4)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 4)}{1}$

Bước 4.2.1.5

Nhân $\frac{5 (- 4)}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 4)}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 4.2.1.6

Nhân $\frac{5 (- 4)}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} + 3 {(- 4)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 3 {(- 4)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.3.2

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 3 \cdot 16 \cdot 3 + 5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.3.3

Nhân $3 \cdot 16 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.3.1

Nhân $3$ với $16$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 48 \cdot 3 + 5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.3.3.2

Nhân $48$ với $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 144 + 5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.3.4

Nhân $5 (- 4) \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.4.1

Nhân $5$ với $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 144 - 20 \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.3.4.2

Nhân $- 20$ với $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 144 - 60}{3}$

Bước 4.2.4

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Cộng $- 64$ và $144$ .

$f (- 4) = \frac{80 - 60}{3}$

Bước 4.2.4.2

Trừ $60$ khỏi $80$ .

$f (- 4) = \frac{20}{3}$

Bước 4.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{20}{3}$ .

$\frac{20}{3}$

Bước 4.3

Quy đổi $\frac{20}{3}$ thành số thập phân.

$y = 6.\overline{6}$

Bước 5

Tìm một điểm tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2)$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Viết $3 {(- 2)}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2}}{1} + 5 (- 2)$

Bước 5.2.1.2

Nhân $\frac{3 {(- 2)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5 (- 2)$

Bước 5.2.1.3

Nhân $\frac{3 {(- 2)}^{2}}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + 5 (- 2)$

Bước 5.2.1.4

Viết $5 (- 2)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 2)}{1}$

Bước 5.2.1.5

Nhân $\frac{5 (- 2)}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 2)}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 5.2.1.6

Nhân $\frac{5 (- 2)}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 3 {(- 2)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.3.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 3 \cdot 4 \cdot 3 + 5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.3.3

Nhân $3 \cdot 4 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Nhân $3$ với $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 \cdot 3 + 5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.3.3.2

Nhân $12$ với $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 36 + 5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.3.4

Nhân $5 (- 2) \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.4.1

Nhân $5$ với $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 36 - 10 \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.3.4.2

Nhân $- 10$ với $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 36 - 30}{3}$

Bước 5.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Cộng $- 8$ và $36$ .

$f (- 2) = \frac{28 - 30}{3}$

Bước 5.2.4.2

Trừ $30$ khỏi $28$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{3}$

Bước 5.2.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 2) = - \frac{2}{3}$

Bước 5.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Bước 5.3

Quy đổi $- \frac{2}{3}$ thành số thập phân.

$y = - 0.\overline{6}$

Bước 6

Hàm bậc ba có thể vẽ đồ thị bằng độ biến đổi của hàm số và các điểm.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 8.333 \\ - 4 & 6.667 \\ - 3 & 3 \\ - 2 & - 0.667 \\ 0 & 0 \end{array}$

Bước 7

Hàm bậc ba có thể vẽ đồ thị bằng độ biến đổi của hàm số và các điểm đã chọn.

Giảm về phía bên trái và tăng về phía bên phải

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 8.333 \\ - 4 & 6.667 \\ - 3 & 3 \\ - 2 & - 0.667 \\ 0 & 0 \end{array}$

Bước 8