Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1 + x}{1 - x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 + x$ và $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.5

Nhân $1 - x$ với $1$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.8

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.10.2

Nhân $1 + x$ với $1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.12

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.1

Nhân $1 + x$ với $1$ .

$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.12.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.12.3

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.12.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.4.1

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Bước 1.2.12.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$

Bước 2.1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ ở dạng ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Bước 2.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Bước 2.1.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = - x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x + 1$ .

$2 (- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$- 4 ({(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

Bước 2.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Cộng $- 1$ và $0$ .

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

Bước 2.3.7.2

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$4 {(- x + 1)}^{- 3}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

Bước 2.4.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

Bước 3.1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ ở dạng ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Bước 3.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Bước 3.1.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 3}$ và $g (x) = - x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$4 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x + 1$ .

$4 (- 3 {(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $- 3$ với $4$ .

$- 12 ({(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.3.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + 0)$

Bước 3.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Cộng $- 1$ và $0$ .

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} \cdot - 1$

Bước 3.3.7.2

Nhân $- 1$ với $- 12$ .

$12 {(- x + 1)}^{- 4}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$

Bước 3.4.2

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$

Bước 4.1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ ở dạng ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}]$

Bước 4.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{4 \cdot - 1}]$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 4}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 4}$ và $g (x) = - x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x + 1$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$12 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x + 1$ .

$12 (- 4 {(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 4$ với $12$ .

$- 48 ({(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

Bước 4.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.3.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + 0)$

Bước 4.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Cộng $- 1$ và $0$ .

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} \cdot - 1$

Bước 4.3.7.2

Nhân $- 1$ với $- 48$ .

$48 {(- x + 1)}^{- 5}$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 \frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$

Bước 4.4.2

Kết hợp $48$ và $\frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{48}{{(- x + 1)}^{5}}$