Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 24 x + 15$

Bước 1

Tìm một điểm tại $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 3)}^{3}$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1 \cdot 3)}^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 3^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $- 1 \cdot 3^{3}$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.1.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 (1)} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 \cdot 1} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{2}}{1} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.1.5.4

Chia $- 1 \cdot 3^{2}$ cho $1$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 3^{2} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.2

Viết lại $- 1 \cdot 3^{2}$ ở dạng $- 3^{2}$ .

$f (- 3) = - 3^{2} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.4

Nhân $- 1$ với $9$ .

$f (- 3) = - 9 + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.5

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 - 24 \cdot - 3 + 15$

Bước 1.2.1.6

Nhân $- 24$ với $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 + 72 + 15$

Bước 1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Cộng $- 9$ và $9$ .

$f (- 3) = 0 + 72 + 15$

Bước 1.2.2.2

Cộng $0$ và $72$ .

$f (- 3) = 72 + 15$

Bước 1.2.2.3

Cộng $72$ và $15$ .

$f (- 3) = 87$

Bước 1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $87$ .

$87$

Bước 1.3

Quy đổi $87$ thành số thập phân.

$y = 87$

Bước 2

Tìm một điểm tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \frac{0}{3} + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Bước 2.2.1.2

Chia $0$ cho $3$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Bước 2.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 24 \cdot 0 + 15$

Bước 2.2.1.4

Nhân $- 24$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 15$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 15$

Bước 2.2.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 + 15$

Bước 2.2.2.3

Cộng $0$ và $15$ .

$f (0) = 15$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $15$ .

$15$

Bước 2.3

Quy đổi $15$ thành số thập phân.

$y = 15$

Bước 3

Tìm một điểm tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Bước 3.2.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Bước 3.2.1.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 4 - 24 \cdot - 2 + 15$

Bước 3.2.1.4

Nhân $- 24$ với $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 4 + 48 + 15$

Bước 3.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4}{1} + 48 + 15$

Bước 3.2.2.2

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48 + 15$

Bước 3.2.2.3

Nhân $\frac{4}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 48 + 15$

Bước 3.2.2.4

Viết $48$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} + 15$

Bước 3.2.2.5

Nhân $\frac{48}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Bước 3.2.2.6

Nhân $\frac{48}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + 15$

Bước 3.2.2.7

Viết $15$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Bước 3.2.2.8

Nhân $\frac{15}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 3.2.2.9

Nhân $\frac{15}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 2) = \frac{- 8 + 4 \cdot 3 + 48 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $4$ với $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 48 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.4.2

Nhân $48$ với $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 144 + 15 \cdot 3}{3}$

Bước 3.2.4.3

Nhân $15$ với $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 144 + 45}{3}$

Bước 3.2.5

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Cộng $- 8$ và $12$ .

$f (- 2) = \frac{4 + 144 + 45}{3}$

Bước 3.2.5.2

Cộng $4$ và $144$ .

$f (- 2) = \frac{148 + 45}{3}$

Bước 3.2.5.3

Cộng $148$ và $45$ .

$f (- 2) = \frac{193}{3}$

Bước 3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{193}{3}$ .

$\frac{193}{3}$

Bước 3.3

Quy đổi $\frac{193}{3}$ thành số thập phân.

$y = 64.\overline{3}$

Bước 4

Tìm một điểm tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3}}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Bước 4.2.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Bước 4.2.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 - 24 \cdot - 1 + 15$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- 24$ với $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 + 24 + 15$

Bước 4.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} + 24 + 15$

Bước 4.2.2.2

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 24 + 15$

Bước 4.2.2.3

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + 24 + 15$

Bước 4.2.2.4

Viết $24$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24}{1} + 15$

Bước 4.2.2.5

Nhân $\frac{24}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Bước 4.2.2.6

Nhân $\frac{24}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + 15$

Bước 4.2.2.7

Viết $15$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Bước 4.2.2.8

Nhân $\frac{15}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 4.2.2.9

Nhân $\frac{15}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 24 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Nhân $24$ với $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 72 + 15 \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.4.2

Nhân $15$ với $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 72 + 45}{3}$

Bước 4.2.5

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Cộng $- 1$ và $3$ .

$f (- 1) = \frac{2 + 72 + 45}{3}$

Bước 4.2.5.2

Cộng $2$ và $72$ .

$f (- 1) = \frac{74 + 45}{3}$

Bước 4.2.5.3

Cộng $74$ và $45$ .

$f (- 1) = \frac{119}{3}$

Bước 4.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{119}{3}$ .

$\frac{119}{3}$

Bước 4.3

Quy đổi $\frac{119}{3}$ thành số thập phân.

$y = 39.\overline{6}$

Bước 5

Tìm một điểm tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{{(1)}^{3}}{3} + {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 15$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \frac{1}{3} + {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 15$

Bước 5.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 24 \cdot 1 + 15$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 24$ với $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 24 + 15$

Bước 5.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - 24 + 15$

Bước 5.2.2.2

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24 + 15$

Bước 5.2.2.3

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 24 + 15$

Bước 5.2.2.4

Viết $- 24$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24}{1} + 15$

Bước 5.2.2.5

Nhân $\frac{- 24}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Bước 5.2.2.6

Nhân $\frac{- 24}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + 15$

Bước 5.2.2.7

Viết $15$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Bước 5.2.2.8

Nhân $\frac{15}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 5.2.2.9

Nhân $\frac{15}{1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 24 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân $- 24$ với $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 72 + 15 \cdot 3}{3}$

Bước 5.2.4.2

Nhân $15$ với $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 72 + 45}{3}$

Bước 5.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Cộng $1$ và $3$ .

$f (1) = \frac{4 - 72 + 45}{3}$

Bước 5.2.5.2

Trừ $72$ khỏi $4$ .

$f (1) = \frac{- 68 + 45}{3}$

Bước 5.2.5.3

Cộng $- 68$ và $45$ .

$f (1) = \frac{- 23}{3}$

Bước 5.2.5.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (1) = - \frac{23}{3}$

Bước 5.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{23}{3}$ .

$- \frac{23}{3}$

Bước 5.3

Quy đổi $- \frac{23}{3}$ thành số thập phân.

$y = - 7.\overline{6}$

Bước 6

Hàm bậc ba có thể vẽ đồ thị bằng độ biến đổi của hàm số và các điểm.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 87 \\ - 2 & 64.333 \\ - 1 & 39.667 \\ 0 & 15 \\ 1 & - 7.667 \end{array}$

Bước 7

Hàm bậc ba có thể vẽ đồ thị bằng độ biến đổi của hàm số và các điểm đã chọn.

Giảm về phía bên trái và tăng về phía bên phải

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 87 \\ - 2 & 64.333 \\ - 1 & 39.667 \\ 0 & 15 \\ 1 & - 7.667 \end{array}$

Bước 8