Giải tích Ví dụ

$y = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Bước 1

Tìm tập xác định của $y = x \sqrt{8 - x^{2}}$ sao cho có thể lấy được một danh sách các giá trị $x$ để tìm một danh sách các điểm giúp ta vẽ đồ thị hàm căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{8 - x^{2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$8 - x^{2} \geq 0$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x^{2} \geq - 8$

Bước 1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 8$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 8$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Bước 1.2.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Chia $- 8$ cho $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Bước 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Bước 1.2.4

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn $\sqrt{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Bước 1.2.4.2.1.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Bước 1.2.5

Viết $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 1.2.5.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Bước 1.2.5.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 1.2.5.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Bước 1.2.5.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Bước 1.2.6

Tìm phần giao của $x \leq 2 \sqrt{2}$ và $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Bước 1.2.7

Giải $- x \leq 2 \sqrt{2}$ khi $x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 2 \sqrt{2}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 2 \sqrt{2}$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Bước 1.2.7.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Bước 1.2.7.1.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Bước 1.2.7.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Bước 1.2.7.1.3.2

Viết lại $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ ở dạng $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Bước 1.2.7.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Bước 1.2.7.2

Tìm phần giao của $x \geq - 2 \sqrt{2}$ và $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Bước 1.2.8

Tìm hợp của các đáp án.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Bước 1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Ký hiệu khoảng:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Bước 2

Để tìm các điểm cuối, thay biên của các giá trị $x$ từ tập xác định vào $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2 \sqrt{2}$ trong biểu thức.

$f (- 2 \sqrt{2}) = (- 2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Bước 2.2.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Bước 2.2.2

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Bước 2.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Bước 2.2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Bước 2.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Bước 2.2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Bước 2.2.2.5

Tính số mũ.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Bước 2.2.3

Nhân $- (4 \cdot 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Bước 2.2.3.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Bước 2.2.4

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Bước 2.2.5

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.2.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Bước 2.2.7

Nhân $- 2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Nhân $0$ với $- 2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Bước 2.2.7.2

Nhân $0$ với $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Bước 2.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 2.3

Thay thế biến $x$ bằng $2 \sqrt{2}$ trong biểu thức.

$f (2 \sqrt{2}) = (2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Bước 2.4.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Bước 2.4.2

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Bước 2.4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Bước 2.4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Bước 2.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Bước 2.4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Bước 2.4.2.5

Tính số mũ.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Bước 2.4.3

Nhân $- (4 \cdot 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Bước 2.4.3.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Bước 2.4.4

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Bước 2.4.5

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.4.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Bước 2.4.7

Nhân $2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Nhân $0$ với $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Bước 2.4.7.2

Nhân $0$ với $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0$

Bước 2.4.8

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 3

Các điểm cuối là $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ .

$(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$

Bước 4

Chọn một vài giá trị $x$ từ tập xác định. Sẽ hữu ích hơn khi chọn các giá trị sao cho chúng nằm cạnh giá trị $x$ của điểm cuối của biểu thức chứa căn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x$ giá trị $- 1.82842712$ vào $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 1.82842712, - 3.94569924)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1.82842712$ trong biểu thức.

$f (- 1.82842712) = (- 1.82842712) \sqrt{8 - {(- 1.82842712)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $- 1.82842712$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 3.34314575}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3.34314575$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 3.34314575}$

Bước 4.1.2.1.3

Trừ $3.34314575$ khỏi $8$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{4.65685424}$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- 1.82842712$ với $\sqrt{4.65685424}$ .

$f (- 1.82842712) = - 3.94569924$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3.94569924$ .

$y = - 3.94569924$

Bước 4.2

Thay $x$ giá trị $- 0.82842712$ vào $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(- 0.82842712, - 2.24038746)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.82842712$ trong biểu thức.

$f (- 0.82842712) = (- 0.82842712) \sqrt{8 - {(- 0.82842712)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nâng $- 0.82842712$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.6862915}$

Bước 4.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $0.6862915$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 0.6862915}$

Bước 4.2.2.1.3

Trừ $0.6862915$ khỏi $8$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{7.31370849}$

Bước 4.2.2.2

Nhân $- 0.82842712$ với $\sqrt{7.31370849}$ .

$f (- 0.82842712) = - 2.24038746$

Bước 4.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2.24038746$ .

$y = - 2.24038746$

Bước 4.3

Thay $x$ giá trị $0.17157287$ vào $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(0.17157287, 0.48438771)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.17157287$ trong biểu thức.

$f (0.17157287) = (0.17157287) \sqrt{8 - {(0.17157287)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nâng $0.17157287$ lên lũy thừa $2$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.02943725}$

Bước 4.3.2.1.2

Nhân $- 1$ với $0.02943725$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 0.02943725}$

Bước 4.3.2.1.3

Trừ $0.02943725$ khỏi $8$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{7.97056274}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $0.17157287$ với $\sqrt{7.97056274}$ .

$f (0.17157287) = 0.48438771$

Bước 4.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.48438771$ .

$y = 0.48438771$

Bước 4.4

Thay $x$ giá trị $1.17157287$ vào $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(1.17157287, 3.01607027)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.17157287$ trong biểu thức.

$f (1.17157287) = (1.17157287) \sqrt{8 - {(1.17157287)}^{2}}$

Bước 4.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Nâng $1.17157287$ lên lũy thừa $2$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 1.372583}$

Bước 4.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1.372583$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1.372583}$

Bước 4.4.2.1.3

Trừ $1.372583$ khỏi $8$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{6.62741699}$

Bước 4.4.2.2

Nhân $1.17157287$ với $\sqrt{6.62741699}$ .

$f (1.17157287) = 3.01607027$

Bước 4.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $3.01607027$ .

$y = 3.01607027$

Bước 4.5

Thay $x$ giá trị $2.17157287$ vào $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(2.17157287, 3.93544563)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $2.17157287$ trong biểu thức.

$f (2.17157287) = (2.17157287) \sqrt{8 - {(2.17157287)}^{2}}$

Bước 4.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1.1

Nâng $2.17157287$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 4.71572875}$

Bước 4.5.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4.71572875$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 4.71572875}$

Bước 4.5.2.1.3

Trừ $4.71572875$ khỏi $8$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{3.28427124}$

Bước 4.5.2.2

Nhân $2.17157287$ với $\sqrt{3.28427124}$ .

$f (2.17157287) = 3.93544563$

Bước 4.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $3.93544563$ .

$y = 3.93544563$

Bước 4.6

Căn bậc hai có thể được biểu diễn bằng các điểm xung quanh đỉnh $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0), (- 1.82842712, - 3.95), (- 0.82842712, - 2.24), (0.17157287, 0.48), (1.17157287, 3.02), (2.17157287, 3.94)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 \sqrt{2} & 0 \\ - 1.828 & - 3.95 \\ - 0.828 & - 2.24 \\ 0.172 & 0.48 \\ 1.172 & 3.02 \\ 2.172 & 3.94 \\ 2 \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Bước 5