Giải tích Ví dụ

$y = \frac{5 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 11$ và $g (x) = 2 x + 4$ .

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 9 x + 11] - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} - 9 x + 11$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.4

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.5

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.7

Nhân $- 9$ với $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + \frac{d}{d x} [11]) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.8

Vì $11$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $11$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + 0) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.9

Cộng $10 x - 9$ và $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.11

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.13

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.14

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.15

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.15.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 11) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.2.15.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2} - 9 x + 11)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Khai triển $(2 x + 4) (10 x - 9)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x (10 x - 9) + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 \cdot 10 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.2.1.3

Nhân $2$ với $10$ .

$\frac{20 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.2.1.4

Nhân $- 9$ với $2$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.2.1.5

Nhân $10$ với $4$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.2.1.6

Nhân $4$ với $- 9$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.2.2

Cộng $- 18 x$ và $40 x$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.3

Nhân $5$ với $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.4

Nhân $- 9$ với $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.1.5

Nhân $- 2$ với $11$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Trừ $10 x^{2}$ khỏi $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 22 x - 36 + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.3

Cộng $22 x$ và $18 x$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 36 - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.2.4

Trừ $22$ khỏi $- 36$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $10 x^{2} + 40 x - 58$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 x^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 40 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $40 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 58$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.3.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (5 x^{2}) + 2 (20 x)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.3.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 29)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

Bước 3.3.4.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

Bước 3.3.4.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

Bước 3.3.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x + 2)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.3.4.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

Bước 3.3.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Bước 3.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Bước 3.3.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} + 20 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$