Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} \frac{3 n^{2} + 4 n + 5}{2 n^{2} - 3 n + 1}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + 4 n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Bước 3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{3 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Bước 5

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Bước 6

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Bước 8

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Bước 10

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}$

Bước 11

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Bước 12

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Bước 12.2

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Bước 12.3

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Bước 12.4

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Bước 13.1.2

Nhân $3$ với $64$ .

$\frac{192 + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Bước 13.1.3

Nhân $4$ với $8$ .

$\frac{192 + 32 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Bước 13.1.4

Cộng $192$ và $32$ .

$\frac{224 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Bước 13.1.5

Cộng $224$ và $5$ .

$\frac{229}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Bước 13.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{229}{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 + 1}$

Bước 13.2.2

Nhân $2$ với $64$ .

$\frac{229}{128 - 3 \cdot 8 + 1}$

Bước 13.2.3

Nhân $- 3$ với $8$ .

$\frac{229}{128 - 24 + 1}$

Bước 13.2.4

Trừ $24$ khỏi $128$ .

$\frac{229}{104 + 1}$

Bước 13.2.5

Cộng $104$ và $1$ .

$\frac{229}{105}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{229}{105}$

Dạng thập phân:

$2.18095238 \dots$