Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} {(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})$ bằng cách di chuyển $\csc (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 8} e^{\csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Bước 2.3

Di chuyển giới hạn vào bên trong hàm lượng giác vì cosecant liên tục.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Bước 2.4

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + \sin (x))}$

Bước 2.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Bước 2.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Bước 2.7

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\csc (8)$ .

$e^{7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Bước 4.2

Rút gọn $7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))$ bằng cách di chuyển $7.18529653$ trong logarit.

$e^{\ln ({(1 + \sin (8))}^{7.18529653})}$

Bước 4.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(1 + \sin (8))}^{7.18529653}$

Bước 4.4

Tính $\sin (8)$ .

${(1 + 0.1391731)}^{7.18529653}$

Bước 4.5

Cộng $1$ và $0.1391731$ .

${1.1391731}^{7.18529653}$

Bước 4.6

Nâng $1.1391731$ lên lũy thừa $7.18529653$ .

$2.55043306$