Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} \frac{1 + 2 + 3 + n}{3 n + 1} - \frac{n}{6}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{1 + 2 + 3 + n}{3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1 + 2 + 3 + n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1 + lim_{n \to 8} 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Bước 4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1 + lim_{n \to 8} 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Bước 5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1 + 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Bước 6

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Bước 8

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Bước 9

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Bước 10

Chuyển số hạng $\frac{1}{6}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Bước 12.2

Cộng $3$ và $3$ .

$\frac{6 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Bước 12.3

Cộng $6$ và $8$ .

$\frac{14}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Bước 12.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.1

Nhân $3$ với $8$ .

$\frac{14}{24 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Bước 12.4.1.2

Cộng $24$ và $1$ .

$\frac{14}{25} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Bước 12.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{6}$ vào tử số.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{6} \cdot 8$

Bước 12.4.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 8$

Bước 12.4.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 12.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 12.4.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{3} \cdot 4$

Bước 12.4.3

Kết hợp $\frac{- 1}{3}$ và $4$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 1 \cdot 4}{3}$

Bước 12.4.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 4}{3}$

Bước 12.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{14}{25} - \frac{4}{3}$

Bước 12.5

Để viết $\frac{14}{25}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{25} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 12.6

Để viết $- \frac{4}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{25}{25}$ .

$\frac{14}{25} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Bước 12.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $75$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.7.1

Nhân $\frac{14}{25}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 3}{25 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Bước 12.7.2

Nhân $25$ với $3$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Bước 12.7.3

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{25}{25}$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4 \cdot 25}{3 \cdot 25}$

Bước 12.7.4

Nhân $3$ với $25$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4 \cdot 25}{75}$

Bước 12.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{14 \cdot 3 - 4 \cdot 25}{75}$

Bước 12.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.9.1

Nhân $14$ với $3$ .

$\frac{42 - 4 \cdot 25}{75}$

Bước 12.9.2

Nhân $- 4$ với $25$ .

$\frac{42 - 100}{75}$

Bước 12.9.3

Trừ $100$ khỏi $42$ .

$\frac{- 58}{75}$

Bước 12.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{58}{75}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{58}{75}$

Dạng thập phân:

$- 0.77\overline{3}$