Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ ở dạng $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ bằng cách di chuyển $\tan (2 x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Bước 2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.68539816 & - 0.99327506 \\ 0.77539816 & - 0.99993332 \\ 0.78439816 & - 0.99999933 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $- 1$ . Cho nên, giới hạn của $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ từ phía bên trái là $- 1$ .

$- 1$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

Bước 7

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.88539816 & - 0.99327506 \\ 0.79539816 & - 0.99993332 \\ 0.78639816 & - 0.99999933 \end{array}$

Bước 8

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $- 1$ . Cho nên, giới hạn của $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ từ phía bên phải là $- 1$ .

$e^{- 1}$

Bước 9

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{e}$

Dạng thập phân:

$0.36787944 \dots$