Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${\tan (x)}^{\cos (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ bằng cách di chuyển $\cos (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Bước 2

Lập giới hạn ở dạng giới hạn trái.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Bước 3

Tính giới hạn trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \ln (\tan (x))}$

Bước 3.2

Viết lại $\cos (x) \ln (\tan (x))$ ở dạng $\frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}}$

Bước 3.3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \ln (\tan (x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Bước 3.3.1.2

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Bước 3.3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sec (x)}}$

Bước 3.3.1.3.2

Khi giá trị $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ từ phía bên trái, các giá trị hàm số tăng mà không bị giới hạn.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Bước 3.3.1.3.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Bước 3.3.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Bước 3.3.2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.3

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.6.1

Viết lại biểu thức.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.6.2

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.7

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.8

Kết hợp $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ và $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \sec^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.9.1.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.9.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.9.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.9.1.3.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.9.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.9.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.9.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.9.2.1

Viết lại $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ ở dạng một tích.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.9.2.2

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Bước 3.3.3.10

Viết lại $\frac{1}{\cos (x)}$ ở dạng $\cos^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)]}}$

Bước 3.3.3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.11.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Bước 3.3.3.11.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Bước 3.3.3.11.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Bước 3.3.3.12

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}$

Bước 3.3.3.13

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Bước 3.3.3.14

Nhân $\cos^{- 2} (x)$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Bước 3.3.3.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.15.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)}}$

Bước 3.3.3.15.2

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ và $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Bước 3.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Bước 3.3.5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ với $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \sin (x)}}$

Bước 3.3.5.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)}}$

Bước 3.3.5.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}}$

Bước 3.3.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Bước 3.3.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Bước 3.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos^{2} (x)$ và $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Bước 3.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (\sin^{2} (x))}}$

Bước 3.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Bước 3.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 3.3.7

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

Bước 3.3.8

Tách các phân số.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 3.3.9

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)}$

Bước 3.3.10

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cot (x)}$

Bước 3.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Bước 3.4.2

Di chuyển giới hạn vào bên trong hàm lượng giác vì cosecant liên tục.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Bước 3.4.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Bước 3.5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Bước 3.5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Bước 3.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$e^{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Bước 3.6.2

Nhân $\cot (\frac{π}{2})$ với $1$ .

$e^{\cot (\frac{π}{2})}$

Bước 3.6.3

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$e^{0}$

Bước 3.7

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1$

Bước 4

Lập giới hạn ở dạng giới hạn phải.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Bước 5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào giá trị cho biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\tan (\frac{π}{2}))}$

Bước 5.2

Viết lại $\tan (\frac{π}{2})$ theo sin và cosin.

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{2})})}$

Bước 5.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$

Bước 5.4

Vì $e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$ không xác định, nên giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$

Bước 6

Nếu một trong các giới hạn một bên không tồn tại, thì giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$