Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.2.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.2.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.2.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.2.4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.2.5.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.2.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.2.5.3

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.2.5.4

Chia $0$ cho $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Bước 1.1.3.1.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Bước 1.1.3.1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}$

Bước 1.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Bước 1.1.3.3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Bước 1.1.3.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Bước 1.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Bước 1.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Bước 1.3.4.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Bước 1.3.4.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Bước 1.3.4.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Bước 1.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan (x) - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 1.3.6

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 1.3.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + 0}$

Bước 1.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1

Cộng $\sec^{2} (x)$ và $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x)}$

Bước 1.3.8.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Bước 1.3.8.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Bước 1.3.8.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Bước 1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Bước 2.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Bước 2.4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Bước 2.5

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}$

Bước 2.6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Bước 3.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 4.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 4.3

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 4.4.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\sqrt{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 4.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 4.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Bước 4.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Bước 4.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Bước 4.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 4.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 4.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Bước 4.7.5

Tính số mũ.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{2^{2}}$

Bước 4.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{4}$

Bước 4.9

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 (1)}{4}$

Bước 4.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Bước 4.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Bước 4.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 4.10

Kết hợp $\sqrt{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dạng thập phân:

$0.70710678 \dots$