Giải tích Ví dụ

lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại

\cot (3 x)

$\cot (3 x)$ theo sin và cosin.

lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Bước 1.2

Viết lại

\cot (4 x)

$\cot (4 x)$ theo sin và cosin.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Bước 1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho

\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Quy đổi từ

\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}

$\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$ sang

\cot (4 x)

$\cot (4 x)$ .

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Bước 1.4.2

Quy đổi từ

\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ sang

\tan (3 x)

$\tan (3 x)$ .

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Bước 2

Xét giới hạn trái.

lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Bước 3

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ khi

x

$x$ tiến dần đến

0

$0$ từ phía bên trái.

\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

Bước 4

Khi các giá trị

x

$x$ tiến dần đến

0

$0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến

0.75

$0.75$ . Cho nên, giới hạn của

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ khi

x

$x$ tiến dần đến

0

$0$ từ phía bên trái là

0.75

$0.75$ .

0.75

$0.75$

Bước 5

Xét giới hạn phải.

lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Bước 6

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ khi

x

$x$ tiến dần đến

0

$0$ từ phía bên phải.

\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

Bước 7

Khi các giá trị

x

$x$ tiến dần đến

0

$0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến

0.75

$0.75$ . Cho nên, giới hạn của

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ khi

x

$x$ tiến dần đến

0

$0$ từ phía bên phải là

0.75

$0.75$ .

0.75

$0.75$