Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \sqrt[4]{\frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt[4]{lim_{x \to 8} \frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $81$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Bước 6

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Bước 8

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $8$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{8^{2} + 8}}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 64}{8^{2} + 8}}$

Bước 11.2

Nhân $81$ với $64$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 5184}{8^{2} + 8}}$

Bước 11.3

Cộng $7$ và $5184$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{8^{2} + 8}}$

Bước 11.4

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{64 + 8}}$

Bước 11.5

Cộng $64$ và $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$

Bước 11.6

Viết lại $\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$

Bước 11.7

Nhân $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ với $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Bước 11.8

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.1

Nhân $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ với $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{\sqrt[4]{72} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Bước 11.8.2

Nâng $\sqrt[4]{72}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Bước 11.8.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1 + 3}}$

Bước 11.8.4

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{4}}$

Bước 11.8.5

Viết lại ${\sqrt[4]{72}}^{4}$ ở dạng $72$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{72}$ ở dạng $72^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{(72^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Bước 11.8.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Bước 11.8.5.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $4$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

Bước 11.8.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

Bước 11.8.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{1}}$

Bước 11.8.5.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72}$

Bước 11.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.9.1

Viết lại ${\sqrt[4]{72}}^{3}$ ở dạng $\sqrt[4]{72^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{72^{3}}}{72}$

Bước 11.9.2

Nâng $72$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{373248}}{72}$

Bước 11.9.3

Viết lại $373248$ ở dạng $12^{4} \cdot 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.9.3.1

Đưa $20736$ ra ngoài $373248$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{20736 (18)}}{72}$

Bước 11.9.3.2

Viết lại $20736$ ở dạng $12^{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{12^{4} \cdot 18}}{72}$

Bước 11.9.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{\sqrt[4]{5191} \cdot 12 \sqrt[4]{18}}{72}$

Bước 11.9.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.9.5.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{12 \sqrt[4]{5191 \cdot 18}}{72}$

Bước 11.9.5.2

Nhân $5191$ với $18$ .

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{72}$

Bước 11.10

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $72$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.10.1

Đưa $12$ ra ngoài $12 \sqrt[4]{93438}$ .

$\frac{12 (\sqrt[4]{93438})}{72}$

Bước 11.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.10.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $72$ .

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

Bước 11.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

Bước 11.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

Dạng thập phân:

$2.91393347 \dots$